Произведения конечных групп близких к нильпотентным (стр. 1 из 20)

Введение

Изучение групп, представимых в произведение своих подгрупп является классической задачей алгебры.

Изучение факторизуемых групп началось с изучения групп, разложимых в прямое произведение некоторого множества своих истинных подгрупп, т.е. при условиях, когда факторизующие подгруппы инвариантны в факторизуемой группе и пересечение любой из них с произведением остальных равно единице. Еще в XIX веке было установлено, что любая конечная абелева группа разложима в произведение некоторого множества циклических подгрупп (Фробениус и Штикельбергер [1]). В связи с этой теоремой в теорию групп пришел вопрос о конечных неабелевых группах, факторизуемых некоторым множеством своих попарно перестановочных циклических подгрупп. При этом не предлагается ни нормальность факторизующих множителей, ни единичность пересечения каждого из них с произведением остальных. Был установлен ряд свойств конечных групп, имеющих факторизацию такого рода, в частности их сверхразрешимость (теорема Хупперта [2]).

Как известно, конечная нильпотентная группа – это прямое произведение

-подгрупп по разным простым В связи с этим возник вопрос характеризации конечных групп, разложимых в произведение попарно перестановочных -подгрупп по разным простым

Случай, когда группа является произведением своих двух силовских подгрупп, т.е. бипримарной, был рассмотрен еще Берсайдом, который установил их разрешимость. В 1938 году Ф. Холл[28] доказал свою знаменитую теорему о том, что конечная группа тогда и только тогда разложима в произведение попарно перестановочных

-подгрупп по разным простым , когда она разрешима.

В связи с этими результатами возник вопрос о строении конечных групп, представимых в произведение своих нильпотентных подгрупп. Ответ на этот вопрос был получен Виландтом[4] и Кегелем[19], которые установили разрешимость таких групп.

Класс конечных групп, представимых в произведение своих двух некоторых нильпотентных подгрупп (кратко, динильпотентных групп) достаточно сложен. Он включает в себя сверхразрешимые группы, бипримарные, метанильпотентные и т.д. и этими примерами он далеко не исчерпывается.

Даже для таких групп связь группы со свойствами подгрупп-множителей достаточно сложная и исследование ее становится весьма непростой задачей.

В последние пятнадцать лет эта связь изучалась в работах многих авторов. Получено немало интересных глубоких результатов и разработаны методы исследования. Естественно, что это направление далеко не исчерпало себя и имеет широкие перспективы.

Настоящая дипломная работа посвящена изучению некоторых свойств конечных разрешимых групп, представимых в виде произведения своих двух

-разложимых подгрупп. В дальнейшем, для краткости, группы с таким свойством буем называть ди- -разложимые. Рассматриваются только конечные разрешимые группы.

Работа состоит из перечня условных обозначений, реферата, введения, основной части, включающей три раздела, заключения и списка цитируемой литературы.

Первый раздел носит справочный характер. Здесь приведены обозначения, определения и некоторые известные результаты, существенно используемые в работе.

Второй раздел посвящен изложению некоторых результатов о строении групп ди-

-разложимых групп. Здесь собраны из различных источников и систематизированы основные результаты о ди- -разложимых группах и получен один новый результат.

Напомним следующее определение:

2.2.1 О п р е д е л е н и е.Пусть

– непустая формация. Подгруппа

группы

называется:

1)

-субнормальной в , если либо , либо существует максимальная цепь подгрупп такая, что для всех (обозначается );

2)

-достижимой в , если существует цепь подгрупп такая, что либо подгруппа субнормальна в , либо для любого (oбозначается ).

2.2.6 Т е о р е м а.Пусть

– наслественная насыщенная формация, причем

и

– ди-

-разожимая группа. Тога справиливы следующие утверждения:

1) если

и то

2) если

и то

Основные результаты и выводы работы сосредоточены в третьем разделе, в котором изучаются свойства подгрупп ди-

-разложимых групп.

В 1958 году Виландт [4] ввел следующее понятие. Подгруппа

группы называется факторизуемой относительно если и Хайнекен Н. [4] в 1990 году исследовал факторизуемые -проекторы в динильпотентных конечных группах для случая, когда – насыщенная формация. Группа называется динильпотентной, если , где и – нильпотентные подгруппы группы Подробнее в 1994 году Амберг В. и Хёфлинг В. [3] распространили основной результат Хайнекена на классы Шунка.

В третьем разделе нами исследуются факторизуемые проекторы в ди-

-нильпотентных группах. В классе всех конечных разрешимых групп получены следующие результаты.

3.2.1 Т е о р е м а.Пусть

– некоторое множество простых чисел,

– класс Шунка и

. Если

– ди-

-разложимая группа, причем

, то в

имеется хотя бы один факторизуемый относительно

-проектор.