Произведения конечных групп близких к нильпотентным (стр. 9 из 20)

1.2.39 Т е о р е м а (С.Н. Черников [34, 35]).Группа, факторизуемая двумя нильпотентными подгруппами, конечными над своими центрами, разрешима.

Строение групп, представимых в произведение ди-

-разложимых групп

Строение примитивных ди-

-разложимых групп

2.1.1 Л е м м а.Пусть группа

есть произведение своих подгрупп

и

,

– некоторое множество простых чисел. Тогда справедливы следующие утверждения.

1) пусть

является -группой, а и – -группами. Тогда найдутся холловы -подгруппы и подгрупп и соответственно такие, что есть холлова -подгруппа ;

2) если подгруппы

и -замкнуты, то .

2.1.2 Т е о р е м а (Васильев А.Ф. [5]).Пусть

– ненильпотентная разрешимая группа, где

и

–

-разложимые подгруппы группы

. Если

имеет единственную минимальную нормальную подгруппу

, где

и

, то справедливы следующие утверждения:

1)

;

2)

;

3) если

, то является -группой, а – -группой.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Установим справедливость утверждения 1). Так как

ненильпотентна, и – минимальная нормальная подгруппа в , то в найдется максимальная подгруппа такая, что . Из единственности и следует, что , т.е. . Кроме того, .

Ввиду 1) леммы 2.1.1 в

и существуют холловы -подгруппы и соответственно и силовские -подгруппы и соответственно такие, что есть холлова -подгруппа, а есть силовская -подгруппа группы .

По условию

и . Поэтому

Откуда

, так как . Но . Значит, .

Рассмотрим пересечение

. Так как , – -группа и все дополнения к в сопряжены, то можно считать, что . Возьмем подгруппу Фиттинга подгруппы . Поэтому,

. Следовательно, – -группа. Так как , то . Поэтому . Отсюда и из следует, что . Заметим, что является силовской -подгруппой в . Поэтому . Ввиду минимальности либо , либо . Случай невозможен, так как . Поэтому , т.е. . Теперь из , и получаем, что – -группа. Из -разложимости и следует, что . Но тогда . Это означает, что .