Произведения конечных групп близких к нильпотентным (стр. 7 из 20)
1.2.20 Л е м м а (Амберг [20]).Пусть 
– группа, факторизуема двумя подгруппами 
и 
. Тогда пересечение произвольной совокупности подгрупп группы , факторизуемых относительно разложения 
и содержащих пересечение 
, является подгруппой, факторизуемой относительно этого разложения.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть
– факторизуемые относительно разложения подгруппы группы , каждая из которых содержит пересечение 
Если для некоторых элементов 
и 
произведение 
содержится в 
то оно содержится и в каждой подгруппе 
Поэтому ввиду леммы 1.2.11 элементы 
и 
содержатся в каждой подгруппе 
и, значит, в 
Следовательно, снова ввиду леммы 1.2.11 подгруппа 
факторизуема относительно разложения 
Лемма доказана.1.2.21 Л е м м а (Амберг [20]).Пусть – группа, факторизуемая двумя подгруппами и 
– ее подгруппа, факторизуемая относительно разложения и содержащая пересечение 
Тогда
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть
– произвольный элемент множества 
Тогда 
для некоторых элементов 
и 
Отсюда 
Так как произведение 
принадлежит 
и содержит пересечение 
то ввиду леммы 1.2.11 
Поэтому элемент 
принадлежит 
Таким образом, 
следовательно, соотношение (4) выполняется. Лемма доказана.1.2.22 Л е м м а (Амберг [20]).Пусть – группа, факторизуемая двумя подгруппами и 
– некоторая подгруппа группы 
перестановочная с подгруппами 
и 
– пересечение всех подгрупп группы факторизуемых относительно разложения и содержащих подгруппы и 
и 
Тогда выполняются соотношения
1.2.23 Л е м м а.Пусть – группа, факторизуемая двумя подгруппами и – некоторая подгруппа группы – пересечение всех подгрупп группы факторизуемых относительно разложения и содержащих подгруппы и 
Пусть для некоторой подгруппы 
факторизуемой относительно разложения и содержащей подгруппы и 
подгруппа перестановочна с подгруппами 
и 
Тогда выполняются соотношения
1.2.24 Л е м м а (Чунихин [22]).Пусть – группа, факторизуемая двумя подгруппами и 
; – инвариантная подгруппа группы , содержащаяся в пересечении Тогда нормальное замыкание подгруппы в совпадает с ее нормальным замыканием в 
1.2.25 Л е м м а (Виландт [23], Хупперт [24], гл. IV, предложение 4.6).Пусть – группа, факторизуемая двумя подгруппами и ; 
– непустое множество простых чисел. Тогда если в группах 
и силовские -подгруппы сопряжены (в часности, если состоит из одного простого числа), то найдутся силовские и одновременно холловы -подгруппы 
и 
соответственно групп и 
такие, что 