Произведения конечных групп близких к нильпотентным (стр. 3 из 20)

1.1.7 О п р е д е л е н и е.Группа

дисперсивна, если она обладает нормальным рядом, факторы которого изоморфны силовким подгруппам.

1.1.8 О п р е д е л е н и е.Формацией называется класс групп, замкнутый относительно факторгрупп и подпрямых произведений.

1.1.9 О п р е д е л е н и е.Формация называется насыщенной, если она является насыщенным классом, т.е. если

то

1.1.10 О п р е д е л е н и е.Класс

называется примитивно замкнутым классом, если все примитивные факторгруппы группы
принадлежат
, то

1.1.11 О п р е д е л е н и е.Классом Шунка называется класс групп, который одновременно замкнут относительно факторгрупп и является примитивно замкнутым классом.

1.1.12 О п р е д е л е н и е.Если

– подгруппа группы
и
то
называется
-подгруппой.

1.1.13 О п р е д е л е н и е.

-максимальной подгруппой группы
называется такая
-подгруппа
группы
которая не содержится ни в какой большей
-подгруппе.

1.1.14 О п р е д е л е н и е.Пусть

– некоторый класс групп. Подгруппа
группы
называется
-проектором, если выполнены условия:
и из того, что
, а
, всегда следует

1.1.15 О п р е д е л е н и е.Подгруппу

группы
назовем
-картеровой подгруппой, если

-нильпотентна,
и
содержит некоторую
-холловскую подгруппу группы
.

1.1.16 О п р е д е л е н и е.Подгруппу

группы
назовем
-гашюцевой подгруппой, если

-сверхразрешима, содержит некоторую
-холловскую подгруппу группы
и для
индекс
есть составное число.

1.1.17 О п р е д е л е н и е.Пересечение всех нормальных подгрупп группы

факторгруппы по которым принадлежат
обозначают через
и называют
-корадикалом группы

1.1.18 О п р е д е л е н и е.

-класс Шунка – класс Шунка, для которого из условия
, всегда следует
.

Факторизуемые подгруппы произведений конечных групп

В настоящем разделе излагается подробно теория факторизуемых подгрупп теории конечных групп, взятая из [32] c точными ссылками на работы авторов приведенных результатов.

1.2.1 Л е м м а.Пусть

– некоторая группа,
и
– ее подгруппы. Подгруппы
и
перестановочны тогда и только тогда, когда произведение
является подгруппой группы
.

(Говорят, что непустые множества

элементов группы перестановочны, если

Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Пусть подгруппы

перестановочны. Тогда, очевидно

(Если

– непустое множество элементов некоторой группы, то, как обычно,

С учетом последних соотношений множество

является подгруппой группы

Достаточность. Пусть подмножество

является подгруппой. Тогда, очевидно,

т.е. подгруппы

перестановочны.

Лемма доказана.

1.2.2 О п р е д е л е н и е.Пусть

– группа, факторизуемая двумя подгруппами
и
. Если
, то будем говорить, что подгруппа
факторизуема относительно разложения

1.2.3 Л е м м а (Виландт[4]).Пусть

– группа, факторизуемая двумя подгруппами
и
;
– некоторая подгруппа группы
и
– нормализатор подгруппы
в
. Подгруппа
факторизуема относительно разложения
если выполняется следующее условие: