Произведения конечных групп близких к нильпотентным (стр. 16 из 20)

Из примитивности

следует существование максимальной подгруппы с ядром 1. Поскольку

максимальна в и , имеем . Поэтому

и

Отсюда и из максимальности

в получаем, что – минимальная нормальная подгруппа группы .

Если

– -группа, то лемма 3.1.1 дает противоречие . Значит, – абелева -группа, . Тогда и и – максимальные подгруппы в с единичными ядрами, . Тогда имеем

где

. Так как , то найдутся такие , что .

Тогда

Откуда .

Рассмотрим

. Подгруппа нильпотентна и нормальна в и – максимальные -подгруппы в и . По индукции найдется такой элемент , что . Лемма доказана.

3.1.3 Л е м м а.Пусть

–

-класс Шунка;

–

-разрешимая группа;

– нильпотентная нормальная подгруппа в

;

–

-полупроектор

и

–такая максимальная

-подгруппа группы

, что

. Тогда

–

-полупроектор группы

.

3.1.4 Л е м м а.Пусть

–

-класс Шунка;

–

-разрешимая группа;

– такой нормальный ряд группы

, что

–

– группа или нильпотентная группа,

. Подгруппа

группы

является

-полупроектором тогда и только тогда, когда

– максимальная

-подгруппа группы

.

3.1.5 Т е о р е м а. Пусть

–

-класс Шунка;

–

-полупроектор

-разрешимой группы

. Тогда

будет

-полупроектором и в любой содержащей его подгруппе

.

3.1.6 С л е д с т в и е.Для

-класса Шунка

в любой

-разрешимой группе понятия

-полупроектора и

-проектора совпадают.

Следующие две теоремы несут информацию о сопряженности и строении

-проекторов.

3.1.7 Т е о р е м а.Пусть

–

-класс Шунка;

–

-разрешимая группа;

и

–

-проекторы группы

;

–

-группа или нильпотентная группа. Тогда

и

сопряжены с помощью элемента из