Произведения конечных групп близких к нильпотентным (стр. 15 из 20)

Рассмотрим второй случай. Пусть

– силовская -группа, а – холлова -группа. В этом случае и причем Получили противоречие. Следовательно, и – нильпотентная -группа. Снова получили противоречие. Так как любая -субнормальная подгруппа является -достижимой, то утверждение 2) следует из утверждения 1). Теорема доказана.

Факторизуемые подгруппы ди-

-разложимых групп

-классы Шунка и их проекторы

Для доказательства основных результатов нам потребуются некоторые факты, получены в работе Васильевой Т.И. [34].

В каждой разрешимой группе

-полупроекторы сопряжены и совпадают с -проекторами. Однако, в -разрешимых группах указанное утверждение не всегда имеет место. Введение -класса Шунка (т.е. класса Шунка, для которого из условия , всегда следует ) дало возможность доказать сопряженность -полупроекторов в -разрешимых группах.

3.1.1 Л е м м а.Пусть

–

-класс Шунка;

– нормальная

-подгруппа группы

;

–

-полупроектор

Тогда

является

-полупроектором группы

.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Ввиду того, что

и имеем Тогда по определению -класса Шунка

Предположим, что

и , где – произвольная нормальная в подгруппа. Тогда

Из определения

-полупроектора получаем

Лемма доказана.

3.1.2 Л е м м а.Пусть

–

-класс Шунка;

– нильпотентная нормальная подгруппа

-разрешимой группы

и

Тогда:

1) существует такая максимальная

-подгруппа группы что

2) любые две такие максимальные

-подгруппы и группы что сопряжены с помощью элемента из

Д о к а з а т е л ь с т в о. Ввиду насыщенности

можно считать, что не содержится в . Поэтому, где есть добавление к в . Следовательно, имеем . Тогда

так как

, поэтому . Выбрав в максимальную -подгруппу , содержащую , получаем 1).

Докажем 2) индукцией по

. Предположим, что – группа наименьшего порядка, в в которой существуют такие максимальные -подгруппы и , что , но и не сопряжены с помощью элемента из . Тогда не принадлежит и найдется примитивная фактор-группа , не принадлежащая , при этом не содержится в и .