Произведения конечных групп близких к нильпотентным (стр. 14 из 20)

Пусть

– формация всех сверхразрешимых групп. Подгруппа разрешимой группы является -субнормальной в тогда и только тогда, когда либо , либо существует максимальная цепь подгрупп такая, что – простое число для любого .

2.2.5 Т е о р е м а (Васильев А.Ф. [5]).Группа сверхразрешима тогда и только тогда, когда её можно представить в виде произведения двух своих нильпотентных

-субнормальных подгрупп.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть

сверхразрешима. Тогда коммутант нильпотентен. Возьмем добавление к в . Следовательно,

Отсюда и из

получаем, что

. Итак, , где и – нильпотентные -субнормальные подгруппы группы .

Обратное утверждение следует из теоремы 2.2.4 ввиду того, что любая минимальная несверхразрешимая бипримарная подгруппа является дисперсивной.

2.2.6 Т е о р е м а.Пусть

– наслественная насыщенная формация, причем

и

– ди-

-разожимая группа. Тога справиливы следующие утверждения:

1) если

и то

2) если

и то

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Докажем утверждение 1). Пусть группа

– наименьший по порядку контрпример к утверждению 1) теоремы. Тогда – ди- -нильпотентная группа, где и нормальна в , – -достижимая подгруппа в , но сама группа не принадлежит формации . Если нильпотентна, то из насыщенности и следует, что . Противоречие с выбором группы .

Пусть

ненильпотентна и – минимальная нормальная подгруппа группы . Тогда ввиду 1) леммы 2.2.3 все условия утверждения 1) теоремы 2.2.4 сохраняются для факторгруппы . Поэтому в силу выбора получаем, что . Тогда , где – -группа ( – некоторое простое число) и для некоторой максимальной подгруппы группы .

Если

то из и следует, что Противоречие с выбором Будем считать, что По 3) теоремы 2.1.2 можно считать, что – силовская -подгруппа, а – холлова -подгруппа группы либо – холлова -подгруппа, а – силовская -погруппа.

Рассмотрим вначале первый случай. Тогда

и Так как все дополнения к в сопряжены, то можно считать, что Тогда из и следует, что . Из и следует, что . Следовательно, . Так как , то – -абнормальная подгруппа в Ясно, что ненормальна в Получили противоречие с -достижимостью подгруппы