Произведения конечных групп близких к нильпотентным (стр. 12 из 20)

2) если

и , то (соответственно

3) если

и , то (соответственно ).

2.2.4 Т е о р е м а (Васильев А.Ф. [5]).Пусть

– насыщенная наследственная формация. Тогда следующие утверждения эквивалентны.

1) если

, где и – -достижимые нильпотентные подгруппы группы и , то группа ;

2) если

, где и – -субнормальные нильпотентные подгруппы группы и , то группа ;

3) любая бипримарная минимальная не

-группа является дисперсивной.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Нетрудно видеть, что всякая

-субнормальная подгруппа в является -достижимой. Поэтому из 1) следует 2).

Докажем, что из 2) следует 3). Пусть

– бипримарная минимальная не -группа. Предлоложим, что недисперсивна. Так как разрешима и ненильпотентна, то . Так как – собственная подгруппа из , то найдется и силовская -подгруппа из такая, что . Но тогда , где и – некоторая максимальная подгруппа из . Из следует, что , а значит, . Следовательно, . Отсюда и из 1) леммы 2.2.2 следует, что любая силовская -подгруппа из является -субнормальной в . Если – какая-либо силовская -подгруппа группы , , то из недисперсивности следует, что . Из и наследственности формации вытекает, что . Ввиду 2) леммы 2.2.3 получаем, что . Так как и , то . Отсюда и из наследственности формации следует, что . Из 3) леммы 2.2.3 вытекает, что . Таким образом, факторизуется своими -субнормальными силовскими подгруппами. Очевидно, . Поэтому по 2) теоремы 2.2.4 . Противоречие с . Следовательно, дисперсивна.

Докажем, что из 3) следует 1). Пусть группа

– наименьший по порядку контрпример к утверждению 1) теоремы. Тогда , где и , – -достижимые -подгруппы в , но сама группа не принадлежит формации . По теореме Виландта-Кегеля разрешима. Если нильпотентна, то из насыщенности и следует, что . Противоречие с выбором группы . Следовательно, ненильпотентна. Пусть – минимальная нормальная подгруппа группы . Тогда ввиду 1) леммы 2.2.3 все условия утверждения 1) теоремы 2.2.4 сохраняются для факторгруппы . Поэтому в силу выбора получаем, что . Так как – формация, то – единственная минимальная нормальная подгруппа группы . Из насыщенности следует, что . Тогда , где – -группа ( – некоторое простое число) и для некоторой максимальной подгруппы группы .