Произведения конечных групп близких к нильпотентным (стр. 10 из 20)

Теперь из

и , ввиду и получаем, что . Утверждение 1) доказано.

Докажем 2). Исследуем пересечения

и . Заметим, что

и

где

и . Покажем, что . Допустим противное. Если делит , то в найдется -подгруппа . Так как , то

есть

-разложимая группа. Аналогично, – -разложимая группа. Отсюда и из того, что и есть холловы -подгруппы в и получаем, что . По доказанному выше подгруппа Фиттинга из и являются -группами. Следовательно, . Противоречие. Тогда есть -группа. Это невозможно, так как . Итак, .

Покажем, что

. Так как , то . С другой стороны

Значит,

, т.е. .

Итак,

. Обозначим и . Так как , то . Из -разложимости и следует, что и . Тогда . Ввиду того, что , имеем

Значит,

и .

Покажем, что

и являются нормальными подгруппами группы . Так как и – -разложимы и , то по 2) леммы 2.1.1 получаем . Так как – -группа и , то . Значит, , т.е. . А значит, . Из следует, что . Отсюда и из получам, что . Аналогично . Отсюда подгруппа нормализует , а нормализует . Следовательно, холлова -подгруппа группы нормализует подгруппы и . Так как , то нормализует . Далее, если , то . Таким образом, и нормализует . Следовательно, силовская -подгруппа группы нормализует . Тогда нормальна в . Аналогично доказывается, что .