Построение полуполевых плоскостей (стр. 1 из 6)
Введение
Проективная геометрия исторически возникла в рамках линейной перспективы, которую применяли строители еще в древности (их знания были систематизированы Евклидом в его трактате «Оптика»). Затем, уже в эпоху Возрождения, к ней обратились живописцы, пытавшиеся создавать иллюзию пространства, то есть изображать на плоскости объемные предметы так, как их видит глаз человека.
В проективной геометрии не различают параллельные и пересекающиеся прямые — считают, что параллельные тоже пересекаются, но в бесконечно удаленной, «несобственной» точке; все такие точки, отвечающие разным направлениям прямых на плоскости, образуют несобственную прямую, которую присоединяют к плоскости. Значит, плоскость дополняется несобственной прямой, а трехмерное пространство — плоскостью.
Как и другие геометрии, проективная абсолютно строго задается системой аксиом. В ней фигурируют два типа объектов, называемые «точками» и «прямыми». Важно, что эти аксиомы устанавливают только отношения между объектами, поэтому для них возможны различные интерпретации. В частности, их можно (но совсем необязательно) считать обычными евклидовыми точками и прямыми.
Проективную геометрию можно описывать аналитически и изучать средствами алгебры. При этом вводят так называемые «однородные координаты», которых всегда на одну больше, — именно в них наиболее просто выражаются закономерности этой геометрии. Это не единственный способ координатизации.
Рассмотрим проективную плоскость как аксиоматически заданную инцидентностную структуру, образованную объектами двух видов (точки и прямые). Если количество объектов конечно, то на плоскости можно ввести координаты с использованием элементов некоторого конечного множества. Отношение инцидентности между точками и прямыми позволяет определить на координатизирующем множестве тернарную операцию, а на основе тернара – операции сложения и умножения. Оказывается, геометрические свойства проективной плоскости тесно связаны с алгебраическими свойствами координатизирующего множества, что позволяет классифицировать и исследовать проективные плоскости алгебраическими методами.
Один из интересных классов проективных плоскостей – полуполевые плоскости. Множество, координатизирующее конечную полуполевую плоскость, наиболее близко к полю, координатизирующему классическую, или дезаргову, проективную плоскость.
Известен метод построения полуполевых плоскостей как плоскостей трансляций: на основе векторного пространства и некоторого семейства линейных преобразований, называемого регулярным множеством (spread set).
Наиболее простыми для построения и исследования являются плоскости трансляций ранга 2, регулярное множество которых может быть представлено 2
2-матрицами. Регулярное множество полуполевой плоскости замкнуто по сложению, что упрощает его построение.Целью работы является построение всех неизоморфных полуполевых плоскостей ранга 2 над полем GF(4) и их исследование.
Первоначально список построенных полуполевых плоскостей порядка 16 содержал 56 объектов, из которого далее были исключены все изоморфные копии.
Изоморфизм полуполевых плоскостей задается полулинейным отображением векторных пространств такого вида:
, где σ – автоморфизм поля, А – невырожденная матрица. Так как построен полный набор полуполевых плоскостей данного порядка и ранга, то достаточно рассматривать изоморфизмы вида 
или 
.На следующем этапе было показано, что изоморфизм
позволяет разбить построенные плоскости на 31 подкласс. Окончательно, было рассмотрено отображение вида и получено всего 2 неизоморфных полуполевых плоскости порядка 16.Для каждой из построенных плоскостей была составлена полная система взаимно ортогональных латинских квадратов.
С использованием матричного представления регулярного множества полуполевых плоскостей порядка 16 построены полярности каждой плоскости (анти-автоморфизмы порядка 2). Каждая полярность задана при помощи аддитивного преобразования координатизирующего полуполя. Доказаны некоторые результаты, позволяющие алгоритмизировать процесс поиска таких преобразований. Каждой полярности поставлено в соответствие множество ее абсолютных точек. Дана классификация полученных множеств и соответствующих им полярностей.
1. Основные определения и вспомогательные результаты
В данной главе приведены основные определения, используемые в работе, а также некоторые известные факты из теории проективных плоскостей.
1.1. Основные понятия и определения
Определение 1.1. Проективной плоскостью назовем структуру
, состоящую из двух непустых множеств (множества точек Р и множества прямых L) c отношением инцидентности I между ними таким, что выполняются 3 аксиомы:1) любые две различные прямые l и mинцидентны единственной точке;
2) любые две различные точки AиB инцидентны единственной прямой;
3) найдутся такие четыре точки, что никакие 3 из них не лежат на одной прямой.
Определение 1.2. Порядком проективной плоскости называется такое число n, что:
1) плоскость содержит
точку, столько же прямых;2) каждая прямая инцидентна с
точками;3) каждая точка инцидентна с
прямыми.Определение 1.3. Изоморфизмом проективной плоскости
на проективную плоскость 
называется взаимно однозначное отображение точек в точки , прямых – в прямые , сохраняющее отношение инцидентности.Определение 1.4. Автоморфизм (коллинеация) проективной плоскости – изоморфизм плоскости на себя.
Определение 1.5. Анти-изоморфизмом проективной плоскости
на проективную плоскость называется взаимно однозначное отображение точек в прямые , прямых – в точки , инвертирующее отношение инцидентности.Определение 1.6. Корреляция – анти-изоморфизм плоскости на себя.
Определение 1.7. Корреляция γ называется полярностью, если γ2=1.
Определение 1.8. Трансляционной прямой l плоскости π называется такая прямая, что для любых двух точек А и В, не лежащих на этой прямой, найдется автоморфизм β плоскости π , который переводит А в В и фиксирует прямую l поточечно.
Определение 1.9. Трансляционной точкой К плоскости π называется такая точка, что для любых двух различных точек А и В, лежащих с К на одной прямой, но отличных от нее, найдется автоморфизм β плоскости π , который переводит А в В и фиксирует все прямые, проходящие через К, не поточечно.
Определение 1.10. Проективная плоскость π является плоскостью трансляций, если она содержит трансляционную прямую.
Определение 1.11. Проективная плоскость, содержащая трансляционную прямую и трансляционную точку, называется полуполевой плоскостью.
1.2. Координатизация проективной плоскости
Пусть Р – конечная проективная плоскость,
, т.е. Р содержит точку и столько же прямых. Пусть D – такое множество, состоящее из 
символов, что 
, 0 ≠ 1, ∞ 
.С помощью D введем координаты для всех точек и прямых проективной плоскости Р.
Выберем 4 точки, образующие невырожденный четырехугольник: O, X, Y, I (рис. 1):
Y