Построение полуполевых плоскостей (стр. 5 из 6)
Тогда
, 
Таким образом, для любой
существует 
: 
, то есть регулярное множество 
второй плоскости сопряжено с множеством 
для некоторой матрицы 
.Этот результат уточняет теорему, приведенную в [2].
Теорема 2.3.Плоскости трансляций Г' и Г изоморфны тогда и только тогда, когда R' сопряжено вGL(V) с одним из следующих множеств:
1) 
, гдеl ≠ k;
2) 
, гдеl ≠ r;
3) 
, гдеl, k, r– попарно различные элементыV;
4) 
, гдеk ≠ r.
В этой теореме выражение вида
означает 
.Наш результат справедлив для линейных изоморфизмов полуполевых плоскостей.
Теорема 2.4. Если φ – линейный изоморфизм полуполевых плоскостей, то он может быть задан матрицей вида
, где А4 – любая невырожденная матрица с элементами из GF(4), 
≠ 0 – некоторая матрица изR.Следует заметить, что в случае поля четного порядкадостаточно рассматривать матрицу 
с определителем равным 1. Покажем, что это действительно так.
Пусть матрица имеет вид:
A=
и 
.Тогда матрицу А можно записать в таком виде:
A=
, и |A|= 
, 
.(т.к. в поле четного порядка квадратный корень из любого элемента извлекается однозначно, то мы имеем право сокращать).
Была написана программа на языке С++, рассчитывающая данный случай. В итоге мы получили 2 класса неизоморфных полуполевых плоскостей порядка 16:
I) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56}
II) {17, 18, 31, 32, 45, 46}
или всего 2 плоскости: №1 и №17, и 17-я плоскость является дезарговой.Обозначим эти плоскости
и 
соответственно.Для плоскостей номер 1 и 17 матрицы имеют вид:
и 
.Лемма 2.5. Для дезарговой плоскости (плоскость №17) регулярное множество является полем.
Доказательство леммы 2.5. Функции матрицы регулярного множества для плоскости №17 имеют вид:
, 
.Проверим необходимые аксиомы:
1) Замкнутость по умножению:
, 
.Замкнутость выполняется.
2) Коммутативность умножения:
, 
,Коммутативность выполняется.
3) Ассоциативность умножения:
,Преобразуем левую часть равенства:
.Преобразуем правую часть равенства:
.Ассоциативность выполняется.
4) Наличие обратного элемента:
.Лемма 2.5 доказана.
3. Исследование полуполевых плоскостей порядка 16
3.1. Латинские квадраты
Определение 3.1.Латинский квадрат порядка n – это матрица размерности n 
n с элементами из множества R, которые мы будем называть 0, 1, 2..., n-1, такая, что в каждой строке и столбце любой элемент встречается один раз.
Определение 3.2. Два латинских квадрата называются ортогональными, если их элементы, находящиеся на одинаковых местах, образуют n2 неповторяющихся пар.
Пусть R={0,1,2,…,n-1} – множество, координатизирующее проективную плоскость, T – тернарная операция. Для
определим матрицу {x} таким образом: на место (i,j) поставим значение T(i,x,j). Тогда верна лемма, доказанная в [1]:Лемма 3.1. 1) {x} – латинский квадрат;
2) если x ≠ y, то латинские квадраты {x} и {y} ортогональны.
Определим координаты на плоскости, заданной векторным пространством, и установим связь между координатизирующим множеством и спрэдом.
Аффинные точки плоскости.
(x, y), здесьx=( 
), y=( 
) 
.
Аффинные прямые плоскости.
,при k=0, получаем:
. 
Особые точки.
Особая прямая.
.Тернарная операция Т.
.Далее введем бинарные операции сложения и умножения:
·
,·
.Для построенных полуполевых плоскостей тернарная операция имеет вид
. Здесь 
, 
, 
– пары элементов из поля GF(4), 
. Для удобства обозначения номеров строк и столбцов латинских квадратов установим соответствия:
