тогда достаточные условия будут иметь вид:
, - точка локального условного минимума. , - точка локального условного максимума.Доказательство: Алгоритм ММЛ:
1) составляем функцию Лагранжа:
;2) используя необходимые условия, формируем систему уравнений:
3) из решения этой системы находим точку
;4) используя достаточные условия, определяем, является ли точка
точкой локального условного минимума или максимума, затем находим1.5.4. Графо-аналитический метод решения классической задачи условной оптимизации в пространстве
и его модификации при решении простейших задач ИП и АПЭтот метод использует геометрическую интерпретацию классической задачи условной оптимизации и основан на ряде важных фактов, присущих этой задаче.
; ; ;В
- общая касательная для функции и функции , представляющей ОДР .Как видно из рисунка точка
- точка безусловного минимума, точка точка условного локального минимума, точка - точка условного локального максимума.Докажем, что в точках условных локальных экстремумов кривая
и соответствующие линии уровня ; .Из курса МА известно, что в точке касания выполняется условие
где
- угловой коэффициент касательной, проведенной соответствующей линией уровня; - угловой коэффициент касательной, проведенной к функцииИзвестно выражение (МА) для этих коэффициентов:
;Докажем, что эти коэффициенты равны.
;потому что об этом "говорят" необходимые условия
.Вышесказанное позволяет сформулировать алгоритм ГФА метода решения классической задачи условной оптимизации:
1) строим семейство линий уровня целевой функции:
; ;2) строим ОДР, используя уравнение ограничения
3) с целью внесения исправления возрастания функции
, находим и выясняем характер экстремальных точек;4) исследуем взаимодействие линий уровня и функции
, находя при этом из системы уравнений координаты условно стационарных точек – локальных условных минимумов и локальных условных максимумов.5) вычисляем
Следует особо отметить, что основные этапы ГФА метода решения классической задачи условной оптимизации совпадают с основными этапами ГФА метода решения задач НП и ЛП, отличие лишь в ОДР
, а также в нахождении местоположения экстремальных точек в ОДР (например, в задачах ЛП эти точки обязательно находятся в вершинах выпуклого многоугольника, представляющего ОДР ).5.5. О практическом смысле ММЛ
Представим классическую задачу условной оптимизации в виде:
(1) (2)где
- переменные величины, представляющие в прикладных технических и экономических задачах переменные ресурсы.В пространстве
задача (1), (2) принимает вид: (1')где
- переменная величина. (2')Пусть
- точка условного экстремума:При изменении
изменяется , т.е.Соответственно изменится и значение целевой функции:
Вычислим производную:
. (3) (4) (5)Из (3), (4), (5)
. (6)Из (5)
. (5')Подставим (5') в (3) и получаем:
(6')Из (6)
, что множитель Лагранжа характеризует "реакцию" значение (ортогональна значению целевой функции) на изменения параметра .В общем случае (6) принимает вид:
; (7)Из (6), (7)
, что множитель , характеризует изменение при изменении соответствующего -того ресурса на 1.Если
- максимальная прибыль или минимальная стоимость, то , характеризует изменения этой величины при изменении , на 1.