Смекни!
smekni.com

Классические методы безусловной оптимизации (стр. 4 из 5)

тогда достаточные условия будут иметь вид:

,
- точка локального условного минимума.

,
- точка локального условного максимума.

Доказательство: Алгоритм ММЛ:

1) составляем функцию Лагранжа:

;

2) используя необходимые условия, формируем систему уравнений:

3) из решения этой системы находим точку

;

4) используя достаточные условия, определяем, является ли точка

точкой локального условного минимума или максимума, затем находим

1.5.4. Графо-аналитический метод решения классической задачи условной оптимизации в пространстве

и его модификации при решении простейших задач ИП и АП

Этот метод использует геометрическую интерпретацию классической задачи условной оптимизации и основан на ряде важных фактов, присущих этой задаче.

;
;
;

В

- общая касательная для функции
и функции
, представляющей ОДР
.

Как видно из рисунка точка

- точка безусловного минимума, точка
точка условного локального минимума, точка
- точка условного локального максимума.

Докажем, что в точках условных локальных экстремумов кривая

и соответствующие линии уровня

;
.

Из курса МА известно, что в точке касания выполняется условие

где

- угловой коэффициент касательной, проведенной соответствующей линией уровня;
- угловой коэффициент касательной, проведенной к функции

Известно выражение (МА) для этих коэффициентов:

;

Докажем, что эти коэффициенты равны.

;

потому что об этом "говорят" необходимые условия

.

Вышесказанное позволяет сформулировать алгоритм ГФА метода решения классической задачи условной оптимизации:

1) строим семейство линий уровня целевой функции:

;
;

2) строим ОДР, используя уравнение ограничения

3) с целью внесения исправления возрастания функции

, находим
и выясняем характер экстремальных точек;

4) исследуем взаимодействие линий уровня и функции

, находя при этом из системы уравнений
координаты условно стационарных точек – локальных условных минимумов и локальных условных максимумов.

5) вычисляем

Следует особо отметить, что основные этапы ГФА метода решения классической задачи условной оптимизации совпадают с основными этапами ГФА метода решения задач НП и ЛП, отличие лишь в ОДР

, а также в нахождении местоположения экстремальных точек в ОДР (например, в задачах ЛП эти точки обязательно находятся в вершинах выпуклого многоугольника, представляющего ОДР
).

5.5. О практическом смысле ММЛ

Представим классическую задачу условной оптимизации в виде:

(1)

(2)

где

- переменные величины, представляющие в прикладных технических и экономических задачах переменные ресурсы.

В пространстве

задача (1), (2) принимает вид:

(1')

где

- переменная величина. (2')

Пусть

- точка условного экстремума:

При изменении

изменяется

, т.е.

Соответственно изменится и значение целевой функции:


Вычислим производную:

. (3)

(4)

(5)

Из (3), (4), (5)

. (6)

Из (5)

. (5')

Подставим (5') в (3) и получаем:

(6')

Из (6)

, что множитель Лагранжа
характеризует "реакцию" значение
(ортогональна значению целевой функции) на изменения параметра
.

В общем случае (6) принимает вид:

;
(7)

Из (6), (7)

, что множитель
,
характеризует изменение
при изменении соответствующего
-того ресурса на 1.

Если

- максимальная прибыль или минимальная стоимость, то
,
характеризует изменения этой величины при изменении
,
на 1.