Інтеграл Стілтьєса (стр. 5 из 7)

(13)

Аналогічно можна упевнитися в тому, що (при

)

(14)

(при

цей інтеграл перетворюється на нуль).

Тепер ми можемо довести дещо узагальнену на відміну від 2, а саме відмовимося від вимоги неперервності функції

:

3. Нехай функція f(x) на проміжку

неперервна,a g(x) має на цьому проміжку, виключаючи хіба лише скінчене число точок, похідну

яка абсолютно інтегровна на

. При цьому нехай функція g(x) у скінченому числі точок

має розрив першого роду. Тоді існує інтеграл Стілтъєса, який виражається формулою

. (15)

Характерна тут наявність позаінтегральної суми, де фігурують скачки функції g(x) в точках

або — односторонні. (Якщо на будь-якій з цих функцій стрибка немає, то відповідний доданок суми перетворюється на нуль).

Для спрощення запису введемо позначення для стрибків функції g(x) зправа и зліва:

,

;

очевидно, для

, .

Складемо допоміжну функцію:

,

Яка як би вбирає у себе усі розриви функції g(x), так що різниця

, як ми зараз встановимо, виявляється вже неперервною.

Для значень

відмінних від усіх , неперервність функції не викликає сумнівів, бо для цих значень неперервні обидві функції и . Доведемо тепер неперервність у точці зправа. Усі доданки суми , окрім члена , неперервну при зправа, тому достатньо вивчити поведінку виразу . При воно має значення ; але така ж і його границя при :

.

Аналогічно перевіряється ф неперервність функції

в точці зліва.

Далі, якщо взяти точку х (відмінну від усіх

), в якій функція має похідну, то поблизу цієї точки зберігає постійне значення, виходячи з цього, у ній і функція має похідну, причому .

Для неперервної функції

, за попередньою теоремою, існує інтеграл Стілтьєса .

Так само легко обрахувати і інтеграл

.

Додаючи почленно ці дві рівності, ми і прийдемо до рівності (15); існування інтеграла Стілтьєса від

по функції встановлюється попутно. [5]

§7. Приклади обчислення інтеграла Стілтьєса

1) Обчислити за формулою (11) інтеграл:

Розв’язок, (а)

і т.д.

2) Обчислити за формулою (15) інтеграли:

(а)

, де

(б)

, де

Розв’язок. (а) Функція

має стрибок 1 при и стрибок —2 при ; в решті точок . Тому

(б) Стрибок 1 при

и при (значення функції при не впливає на результат); у решті точок g(x) = 0.

Маємо:

3) Обрахувати за формулою (15) інтеграли:

(а)

, (б) , (в) ,

де

Розв’язок. Функція

має скачки рівні 1, при і . Похідна

Тому

Аналогічно,

і

3) Припустимо, що вздовж відрізку

вісі х розташовані маси, як скупчені в окремих точках, так и розподілені неперервно. Не роблячи між ними відмінностей, позначимо для через суму всіх мас, розташованих на проміжку ; більше того, покладемо =0. Очевидно, — монотонно зростаюча функція. Поставимо собі задачею знайти статичний момент цих мас відносно початку координат.