Інтеграл Стілтьєса (стр. 4 из 7)

в припущенні, що існує один з цих інтегралів; існування іншого звідси вже випливає. Ця формула носить назву формули інтегрування за частинами. Доведемо її.

Нехай існує інтеграл

. Розклавши проміжок [а, b] на частини [x_i, x_i+1] (i = 0, 1, ..., n — 1), оберемо в цих частинах довільно по точці таким чином, що

Суму Стілтьєсадля інтеграла

можна представити у вигляді

Якщо додати або відняти зправа вираз

то перепишеться так:

Вираз у фігурних дужках представляє собою стілтьесову суму для інтеграла

(існування якого припущено!). Вона відповідає розбиттю проміжку [а, b] точками ділення якщо в якості обраних з проміжків точок узяти x_i, а для проміжків , відповідно, а і b. Якщо, як зазвичай, покласти то тепер довжини всіх частинних проміжків не перевищать .

При

сума у квадратних дужках прямує до , з чого слідує, що існує границя і для , тобто інтеграл і цей інтеграл визначається формулою (9). [8]

§5. Зведення інтеграла Стілтьєса до інтегралу Рімана

Нехай функція f(x) неперервна на проміжку [a, b], a g(x) монотонно зростає в цьому проміжку, і притому в суворому сенсі. Тоді, як показав Лебег (Н. Lebesgue), інтеграл Стілтьеса

за допомогою підстановки безпосередньо зводиться до інтегралу Рімана.

Доведемо тепер, що

(10)

де останній інтеграл береться у звичайному сенсі, його існування забезпечено, так як функція g(v), а з нею і складна функція f(g^-1(v)) неперервні.

Для цього розкладемо проміжок [а, b] на частини за допомогою точок ділення

a=x₀<x₁<…<x_i<x_i+1<…<x_n=b

и складемо стілтьесову суму

Якщо покласти v_i = g(x_i) (i = 0, 1, . . ., n), то будемо мати

v₀<v₁< ... <v_i< v_i+1 < ... <v_n = V.

Так як х_i = g^-1 (v_i), то

Цей вираз має вигляд ріманової суми для інтеграла

Маємо

і

так що

Припустимо тепер

настільки малими, щоб коливання функції f(x) у всіх проміжках [x_і, х_і+1] були менше довільно наперед заданого числа > 0. Так як при , очевидно, , то одночасно і < .

В такому випадку

<

Цим доведено, що

звідки и слідує (10). [4;6]

§6. Обчислення інтегралів Стілтьєса

Доведемо наступну теорему:

1. Якщо функція f(x) інтегрована в сенсі Рімана на проміжку [a, b], a g(x) представлена інтегралом

де функція

абсолютно інтегровна в [а,b], то

(11)

Існування інтеграла Стілтьєса при зроблених припущеннях уже було доведено вище.

Залишається лише з’ясувати рівність (11).

Без зменшення загальності можна припустити, що функція

додатна.

Складемо суму Стілтьєса

Так як, з іншого боку, можна написати

то будемо мати

Очевидно, для

буде , де означає коливання функції f(x) на проміжку [x_і, x_і+1]. Звідси витікає така оцінка записаної вище різниці:

Нам відомо, що при

остання сума прямує до 0, з чого слідує, що

,

що і доводить формулу (11).

2. При тих самих припущеннях стосовно функції f(x) припустимо, що функція g(x) неперервна на всьому проміжку [а, b] і має в ньому, за виключенням лише скінченої кількості точок, похідну g'(x), яка на [а, b] абсолютно інтегрована. Тоді

(12)

Звертаючись до випадків, коли функція g(x)є розривною розглянемо спочатку «стандартну» розривну функцію р(х), яка визначається рівностями

Вона має розрив першого роду — стрибок — у точці х= 0 зправа, причому величина стрибка р(+0) – р(0)) дорівнює 1; в точці х =0 зліва і в решті точок функція p(x)неперервна. Функція p(x–c) буде мати такий самий розрив у точці x=cзправа; навпаки, p(с –x)буде мати подібний розрив у точціx=cзліва, причому величина стрибка дорівнює – 1.

Припустимо, що функція f(x) неперервна в точці х = с, і обчислимо інтеграл

, де (при інтеграл рівний нулю).

Складемо суму Стілтьєса:

.

Нехай точка

потрапляє, скажімо в -ий проміжок, так що . Тоді , а при , очевидно . Таким чином, уся сума зводиться до одного доданку . Нехай тепер . По неперервності . Виходячи з цього, існує (при )