Інтеграл Стілтьєса (стр. 3 из 7)

.

З іншого боку, так як на проміжку

функція інтегровна у власному сенсі, то за доведеним, при достатньо малому і сума стане меншою за . Звідси слідує (4), що і потрібно було довести.

У загальному випадку, коли функція

абсолютно інтегровна на проміжку

, ми розглянемо функції

,

очевидно, невід’ємні і інтегровні на даному проміжку. Так як

,

то питання зводиться до вже розглянутого випадку.

ЗАУВАЖЕННЯ. Нехай функція

неперервна на проміжку і має, виключаючи лише скінчене число точок, похідну , причому ця похідна інтегровна (у власному чи невласному змісті) від до ; тоді, як відомо, має місце формула (7):

.

Якщо

абсолютно інтегровна, то до функції повністю справедливо все викладене в п. 3.[1;3]

§3. Властивості інтегралу Стілтьєса

З визначення інтегралу Стілтьєса безпосередньо випливають такі його властивості:

1.

;

2.

;

3.

;

4.

.

При цьому у випадках 2, 3, 4 з існування інтегралів у правій частині випливає існування інтеграла у лівій частині. Далі маємо

5.

,

у припущенні, що

і існують всі три інтеграли.

Для доведення цієї формули достатньо включити точку с в число точок розбиття проміжку

, при складанні суми Стілтьєса для інтегралу .

Перш за все, з існування інтеграла

уже випливає існування обох інтегралів і .

Для своєрідного граничного процесу, за допомогою якого для стілтьєсової суми отримується інтеграл Стілтьєса, має місце принцип збіжності Больцано-Коші. Таким чином по заданому

враховуючи існування інтеграла знайдеться таке , що будь-які дві суми і , яким відповідають і , різняться менш ніж на . Якщо при цьому у склад точок розбиття включити точку с, а точки розбиття, що припадають на проміжок , брати в обох випадках одними й тими самими, то різниця зведеться до різниці двох сум Стілтьєса, що належать вже проміжку , бо решта доданків взаємно скорочуються. Застосовуючи до проміжку і обрахованим для нього стілтьєсовим сумам той же принцип збіжності, зробимо висновок про існування інтеграла . Аналогічним чином встановлюється і існування інтегралу . Але, важливо відмітити, що з існування обох інтегралів і , взагалі кажучи, не випливає існування інтегралу . Щоб упевнитися в цьому, достатньо розглянути приклад. Нехай на проміжку функції і задані наступними рівностями:

Легко побачити, що інтеграли

обидва існують і рівні 0, бо відповідні суми Стілтьєса всі рівні 0: для першого це випливає з того, що завжди

=0, для другого – з постійності функції , завдяки чому =0.

У той же час інтеграл

не існує. Дійсно, розіб’ємо проміжок так, щоб точка 0 не потрапила у склад точок розбиття, і складемо суму:

.

Якщо точка 0 потрапляє в проміжок

, так, що , то в сумі залишиться лише один -й доданок; решта будуть нулі, тому що для . Отже,

.

В залежності від того, чи буде

або , виявиться або , так що границі не має

Вказана своєрідна умова пов’язана з наявністю розривів у точці

для обох функцій і . [8]

§4. Інтегрування за частинами

Для інтегралів Стілтьєса має місце формула

– (8)