Інтеграл Стілтьєса (стр. 2 из 7)

1. Якщо до наявних двох точок розбиття додати нові точки, то нижня сума Дарбу-Стілтьєса може від цього лише зрости, а верхня сума – лише зменшитися.

2. Кожна нижня сума Дарбу-Стілтьєса не перебільшує кожної верхньої суми, хоча б і такій, що відповідає іншому розбиттю проміжку.

Якщо ввести нижній і верхній інтеграли Дарбу-Стілтьєса:

= і ,

то виявляється, що

.

Нарешті, за допомогою сум Дарбу-Стілтьєса легко встановити для випадку, що розглядається, основну ознаку існування інтегралу Стілтьєса:

Теорема.Для існування інтегралу Стілтьєса необхідно і достатньо, щоб виконувалося

, або

, (4)

якщо під

, як зазвичай, розуміти коливання

функції

в

-му проміжку

.

2.2 Класи випадків існування інтегралу Стілтьєса

1. Якщо функція

а функція

має обмежену зміну, то інтеграл Стілтьєса

(5)

існує.

Спочатку припустимо, що

монотонно зростає, тоді за довільно заданим , враховуючи рівномірну неперервність функції , знайдеться таке , що на будь-якому проміжку, довжина якого менше , коливання буде менше за . Нехай тепер проміжок розбитий на частини так, що . Тоді всі < і

,

звідки й слідує виконання умови (4), а, отже, і існування інтеграла також.

У загальному випадку, якщо функція

має обмежену зміну, її можна представити у вигляді двох зростаючих обмежених функцій: . У відповідності до цього, перетворюється і сума Стілтьєса, що відповідає функції :

Так, за вже доведеним, кожна із сум

і при прямує до граничної межі, це справедливо і відносно суми , що і треба було довести.

Можна послабити умови, що накладаються на функцію

якщо одночасно посилити вимоги до функції :

2. Якщо функція

інтегровна на проміжку

за Ріманом, а

задовольняє умові Ліпшиця:

(6)

,

то інтеграл (5) існує.

Для того, щоб знов мати можливість застосувати встановлений вище критерій, припустимо спочатку функцію

як таку, що не лише задовольняє умові (6), але і монотонно зростаючу.

Враховуючи (6), очевидно

, так, що

Але остання сума при

і сама прямує до нуля, як наслідок інтегровності (за Ріманом) функції , а тоді прямує до нуля і перша сума, що доводить існування інтеграла (5).

У загальному випадку функції

, що задовольняє умові Ліпшиця (6), представимо її у вигляді різниці

= .

Функція

= , очевидно, задовольняє умові Ліпшиця, і в той же час монотонно зростає. Теж саме справедливо і для функції = , так як в силу (6), при

і

.

У такому випадку міркування завершено, як і в попередньому випадку.

3. Якщо функція

інтегровна за Ріманом, а функцію

можна представити у вигляді інтеграла зі змінною верхнею межею інтегрування:

, (7)

де

абсолютно інтегровна на проміжку , то інтеграл (5) існує.

Нехай

, так, що монотонно зростає. Якщо інтегровна за власним змістом, і виходячи з цього, обмежена: , то для маємо .

Таким чином, у цьому випадку

задовольняє умові Ліпшиця, та інтеграл існує в силу (2).

Припустимо тепер, що

інтегровна у невласному сенсі. Обмежимося випадком однієї особливої точки, скажімо . Перш за все, за довільно взятим вибираємо так, щоб було

, (8)

де

- загальне коливання функції на розглядуваному нами проміжку.

Розіб’ємо проміжок

довільно на частини і складемо суму

.

Вона розкладається на дві суми

, з яких перша відповідає проміжкам, що цілком містяться в проміжку , а друга – решті проміжків. Останні, скоріш за все, містяться в проміжку , якщо тільки ; тоді в силу (8),