Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел (стр. 8 из 9)
Доказательство.
Пусть А – счётное замкнутое множество в W(
1). Так как замкнутое подмножество компактного пространства компактно ([8]), а множество А по условию замкнуто, и по предложению 5.6 оно содержится в компактном подпространстве пространства W( 
1), то А компактно. ■ Предложение 5.8. Пространство W( 1) счётно компактно.
Доказательство.
Пусть S – произвольное бесконечное подмножество в W(
1), а ( 
n) – его строго возрастающая последовательность. По предложению 5.5 множество { 
n} не является кофинальным, то есть оно ограничено сверху. Пусть =sup n. В любой окрестности ( 
) точки 
, где 
, есть точки последовательности n множества S. Тогда - предельная точка множества S. ■7. Пространство W( 1) не метризуемо, так как оно не компактно, но счётно компактно, а в метрических пространствах любое счётно компактное пространство компактно.
8. Компактификации.
Лемма 5.9. Из любых двух не пересекающихся замкнутых множеств в W( 1) хотя бы одно ограничено.
Доказательство.
Будем доказывать методом от противного и предположим, что H и K – кофинальные замкнутые не пересекающиеся множества. Мы можем выбрать возрастающую последовательность (
n), n 
N, где n 
H для n – нечётных, и n 
К для n – чётных. Так как множества Н и К замкнуты, то предельные точки им принадлежат, то есть = sup n 
, чего быть не может, поскольку множества Н и К не пересекаются. ■ Предложение 5.10. Любая функция f 
С (W( 
1)) постоянна на «хвосте» W( 
1)\W( ) ( зависит от f ).
Доказательство.
Заметим, что любой «хвост» W(
1)\W( 
), где 
W( 1), счётно компактен, так как он является замкнутым подпространством счётно компактного пространства W( 1) ([3]). Следовательно, каждое множество образов f [W( 1)\W( 
)] – это счётно компактное подмножество R (поскольку функция f непрерывна, а непрерывный образ счётно компактного множества счётно компактен ([3]) ) и, следовательно, компактно, поэтому пересечение 
[W( 1)\W( )] центрированного семейства замкнутых множеств непусто. Выберем произвольное число r из этого пересечения. Докажем, что f -1(r) кофинально в W( 1). Так как r 
[W( 1)\W( )], то r 
f [W( 1)\W( )] для любого W( 1). Следовательно, f –1(r) 
W( 1)\W( ) для любого .Рассмотрим для каждого n
N замкнутое множество Аn = {x W( 1):| f (x) – r |
}. Оно не пересекается с f –1(r), а f –1(r) кофинально, поэтому по лемме 5.9 Аn имеет точную верхнюю грань в W( 1). Обозначим n = sup An. Возьмём произвольное ординальное число >sup n. Пусть 
W( 1)\W( ), тогда 
> 
. Предположим, что f ( 
) 
r, тогда |f ( ) - r| для некоторого n. Следовательно, 
Аn и 
n< , т. е. 
, но > - противоречие.Таким образом, f (
) = r для любого W( 1)\W( ), > 
. ■