Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел (стр. 3 из 9)

Определение 2.2. Если для элемента а

А существует элемент а’ =

= inf {x | a < x, x

A}, то а’ называется непосредственно следующим за а.

Предложение 1.6. Если А – вполне упорядоченное множество, то у каждого элемента множества А, кроме наибольшего, имеется непосредственно следующий за ним элемент.

Доказательство.

Возьмём некоторый элемент а

А, пусть а не является наибольшим элементом. Рассмотрим множество {x | x

A, x > а}. По предложению 1.1 оно имеет наименьший элемент а’, который является точной нижней гранью рассматриваемого множества. Следовательно, а’ следует за а. ■

§2. КОНЕЧНЫЕ ЦЕПИ И ИХ ПОРЯДКОВЫЕ ТИПЫ.

Предложение 2.1. Множество из n элементов можно линейно упорядочить n! способами.

Доказательство.

Для доказательства достаточно применить формулу числа перестановок для n-элементного множества: Р_n=n! ■

Предложение 2.2. Любое конечное линейно упорядоченное множество является вполне упорядоченным множеством.

Доказательство.

Пусть есть множество А – конечное линейно упорядоченное множество. Надо доказать, что А является вполне упорядоченным, то есть любое его подмножество имеет наименьший элемент. Рассмотрим произвольное множество В, являющееся подмножеством множества А. Предположим, что оно не имеет наименьшего элемента. Возьмём какой-нибудь элемент множества В. Обозначим его через b₁. Так как в В нет наименьшего элемента, то в нём есть элемент b₂, такой, что b₂ < b₁. Элемент b₂ не является наименьшим элементом в В, поэтому имеется элемент b₃<b₂. Повторяя это рассуждение, строим для каждого натурального n элемент b_n+1

B, причём b_n+1 < b_n.

Таким образом, получили бесконечное множество {b₁, b₂, . . . ,b_n, . . }

, но это противоречит тому, что В – подмножество конечного множества А и, следовательно, само является конечным. ■

Предложение 2.3. Любые две конечные цепи, состоящие из n элементов, изоморфны.

Доказательство.

пусть есть две конечные цепи из n элементов:

a₁ < a₂ <…< a_n,

b₁ < b₂ <…< b_n.

Для каждого а_i положим f (a_i) = b_i. Очевидно, что отображение f является изоморфизмом. ■

Замечание: бесконечные линейно упорядоченные множества одинаковой мощности могут и не быть изоморфными. Например, множество натуральных чисел и множество целых чисел с естественными порядками. Мощности этих множеств равны, но они не являются изоморфными, так как в N есть наименьший элемент, а в Z наименьшего элемента нет.

Определение 2.3. Порядковым типом линейно упорядоченного множества А называется класс всех линейно упорядоченных множеств, изоморфных множеству А.

Будем считать, что порядковый тип пустого множества есть 0.

Обозначим через n порядковый тип n – элементного множества

N_n = {0, 1, 2,…, n - 1} с порядком 0 < 1 < 2 <…< n-1.

§3.ПОРЯДКОВЫЙ ТИП

.

Определение 2.4. Множество натуральных чисел с естественным порядком и все изоморфные ему линейно упорядоченные множества называются множествами порядкового типа

.

Предложение 3.1. Бесконечное линейно упорядоченное множество А имеет порядковый тип

тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет следующим условиям:

1) во множестве А имеется наименьший элемент a₀;

2) для любого а

А существует точная нижняя грань а’ во множестве {x | a < x, x

A};

3) для любого подмножества Х множества А из того, что а₀

Х и Х

содержит вместе с каждым своим элементом непосредственно следующий за ним элемент, следует, что Х = А.

Доказательство.

Пусть линейно упорядоченное множество А удовлетворяет условиям 1)- 3). Докажем, что А имеет порядковый тип , то есть А изоморфно множеству N.

Из условия (1) следует существование во множестве А наименьшего элемента а₀.

Рассмотрим отображение f: N

A, заданное таким образом: f (0) = a₀,

f (n + 1) = (f (n))’, где n = 0, 1, 2,… Существование (f (n))’ для каждого n обеспечивается условием (2). Тогда вследствие условия (3) f(N)=A. Таким образом, f инъективно и сюръективно, следовательно, взаимно однозначно. Докажем, что f сохраняет порядок: возьмём n, m

N, пусть для определённости n < m . Из условия (2) следует, что f (n) < (f (n))’ f (m),

то есть f (n) < f (m). Следовательно, f сохраняет порядок.

Таким образом, f – взаимно однозначное отображение N

A, сохраняющее порядок. Следовательно, множество А имеет порядковый тип .

Пусть есть бесконечное линейно упорядоченное множество А, имеющее порядковый тип . Множество N удовлетворяет условиям 1) – 3), а множество А изоморфно ему, поэтому и множество А удовлетворяет условиям 1) – 3). ■

Определение 2.5. Порядковым типом

^* называется класс линейно упорядоченных множеств, эквивалентных множеству N с двойственным порядком: 1 > 2 > 3 >…

Предложение 3.2. упорядоченное множество является вполне упорядоченным тогда и только тогда, когда оно не содержит подмножество типа

^*.

Доказательство.

Предположим, что вполне упорядоченное множество А содержит подмножество Х типа ^*. Тогда в Х нет наименьшего элемента, что противоречит вполне упорядоченности множества А. Следовательно, в А нет подмножеств типа ^*.

Пусть множество А не содержит подмножество типа ^*. Докажем, что А является вполне упорядоченным множеством. Предположим, что это не так, т. е. А содержит подмножество В, в котором нет наименьшего элемента. Возьмём какой-нибудь элемент множества В, обозначим его b₁. Так как в В нет наименьшего элемента, то существует элемент b₂

, для которого b₂ < b₁. Повторяя это рассуждение, строим для каждого n N элемент b_n+1 B, причём:

b_n+1 < b_n.

Получили множество {b₁, b₂, … , b_n, . . .} которое является подмножеством множества А и имеет тип

^* - противоречие. ■

§4. СВОЙСТВА ОРДИНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ.

Про изоморфные между собой линейно упорядоченные множества мы будем говорить, что они имеют один и тот же порядковый тип.