Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел (стр. 2 из 9)

3) объединение любого числа множеств из

принадлежит .

Условия 1 – 3 называются аксиомами топологического пространства, его элементы – точками пространства. Подмножества множества Х, принадлежащие семейству

, называются открытыми в Х. Семейство открытых подмножеств пространства Х называется также топологией на Х.

Определение 1.14. Замкнутым множеством называется множество, которое является дополнением к открытому.

Определение 1.15. Окрестностью точки х топологического пространства называется любое открытое множество U, содержащее х.

Определение 1.16. Топологическое пространство Х называется компактным, если из любого его покрытия открытыми множествами можно выделить конечное подпокрытие.

Определение 1.17. Топологическое пространство Х называется компактным, если любая его центрированная система замкнутых множеств в Х имеет непустое пересечение.

Определения 1.16 и 1.17 равносильны ([5]).

Определение 1.18. Пространство Х называется локально компактным, если каждая точка имеет окрестность, замыкание которой компактно.

Определение 1.19. Топологическое пространство Х называется счётно компактным, если из каждого счётного открытого покрытия пространства Х можно выбрать конечное подпокрытие.

Определение 1.20. Топологическое пространство Х называется счётно компактным, если каждое его бесконечное подмножество содержит хотя бы одну предельную точку.

Определения 1.19 и 1.20 равносильны ([5]).

Определение 1.21. Пространство

называется компактификацией топологического пространства Х, если:

1)

компактно;

2) Х – подпространство

;

3) Х плотно в

.

Определение 1.22. Топологическое пространство Х называется Т₁-пространством, если для каждой пары различных точек х₁, х₂

существует открытое множество

, такое, что х1

и х2

.

Определение 1.23. Если любые две различные точки х и у топологического пространства Х имеют непересекающиеся окрестности, то пространство Х называется хаусдорфовым пространством или Т₂-пространством.

Определение 1.24. Топологическое пространство Х называется регулярным пространством, или Т₃-пространством, если Х есть Т₁-пространство и для любого

и каждого замкнутого множества , такого, что , существуют открытые множества U₁ и U₂, такие, что ₁, ₂ и U₁

U₂ = Æ.

Определение 1.25. Топологическое пространство Х называется тихоновским пространством, или Т₃

-пространством, если Х есть Т₁-пространство и для любого

и любого замкнутого множества , такого, что , существует непрерывная функция f: , такая, что f(x)=0 и f(y)=1 для .

Определение 1.26. Топологическое пространство Х называется нормальным, или Т₄-пространством, если для каждой пары непересекающихся замкнутых множеств А и В существуют непересекающиеся открытые множества U и V такие, что А

U, B

V.

ГЛАВА 2. Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел.

§1.ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА И ИХ СВОЙСТВА.

Рассмотрим вполне упорядоченные множества и их свойства.

Предложение 1.1. Всякое подмножество вполне упорядоченного множества само есть вполне упорядоченное множество (очевидно).

Предложение 1.2. Если f – изоморфизм вполне упорядоченного множества А в себя, то для любого элемента х

А выполняется неравенство f (x)

x. (1)

Доказательство.

Будем доказывать методом от противного и предположим, что в А есть элементы х, не удовлетворяющие неравенству (1). Тогда среди этих элементов есть наименьший, так как А является вполне упорядоченным. Обозначим его через х₁ : f (x₁)<x₁. Обозначим f (x₁) = x₀ и перепишем неравенство: х₀<х₁. Так как f – изоморфизм, то выполняется неравенство: f(x₀)<f (x₁) = x₀.

Таким образом, получили следующие неравенства: х₀ < x₁ и f (x₀) < x₀ . Эти неравенства противоречат определению элемента х₁, как наименьшего из элементов х множества А, не удовлетворяющих условию f (x) < x. ■

Определение 2.1. Начальным отрезком, отсекаемым элементом а

А от линейно упорядоченного множества А, называется множество А_а = {x | x

A, x < a}.

Предложение 1.3. Пусть А’ – произвольное подмножество вполне упорядоченного множества А. Тогда множество А не изоморфно никакому отрезку множества А’.

Доказательство:

Будем доказывать методом от противного и предположим, что существует изоморфизм вполне упорядоченного множества А в некоторый отрезок А_х’ подмножества А’

А. Тогда f (x)

A_x’. Следовательно, f (x) < x – противоречие с предложением 1.2. ■

Следствие 1.4. Два различных отрезка вполне упорядоченного множества не могут быть изоморфны между собою.

Доказательство.

Пусть А_х и А_у – два различных отрезка вполне упорядоченного множества А. Так как А_х и А_у различны, а множество А – вполне упорядочено, то х и у сравнимы, при этом х

у. Пусть для определённости x < y. Тогда А_х – отрезок множества А_уи по предложению 1.3 А_х и А_у не могут быть изоморфными. ■

Предложение 1.5. Существует не более одного изоморфизма одного вполне упорядоченного множества на другое.

Доказательство.

Будем доказывать методом от противного и предположим, что f и g – два различных изоморфизма вполне упорядоченного множества А на вполне упорядоченное множество В. Так как f и g различны, то существует а

А: b = f (a)

b’ = g (a). Пусть для определённости b < b’. При всяком изоморфизме f множества А на множество В отрезок А_х А переходит в отрезок В_у

В, где у = f (х). Поэтому отрезок А_а

А подобен отрезкам

В_b

В и В_b’

B, т. е. B_b изоморфен A_a и А_аизоморфен В_b’. Следовательно, отрезок В_b изоморфен отрезку B_b’ , но это противоречит следствию 1.4. ■