Метод векторів та його застосування (стр. 1 из 15)

Метод векторів та його застосування

Вступ

Поняття вектора є одним із фундаментальних понять сучасної математики. Його можна визначити по-різному: як напрямлений відрізок, як упорядковану пару точок, що є кінцями напрямленого відрізка, як множину однаково напрямлених відрізків однакової довжини, як упорядковану пару чисел, як паралельне перенесення.

Уперше поняття вектора як напрямленого відрізка знайшло застосування в механіці для зображення фізичних векторних величин: швидкості, прискорення, сили, моменту сили тощо. Високий ступінь наочності і простота геометричних операцій над векторами як напрямленими відрізками сприяли тому, що поняття вектора знайшло загальне визнання і застосування в інших розділах фізики: в кінематиці, статиці, динаміці точки і динаміці системи, в теорії потенціалу та гідродинаміці, а також стало одним із основних понять таких наук, як векторна алгебра, векторний аналіз, теорія поля, тензорний аналіз тощо.

Проте хоча поняття вектора знайшло перше застосування в фізиці, це математичне поняття, усі операції над якими виконуються за законами математики.

Вектор як математичне поняття міцно ввійшов у шкільну математику, у різні нематематичні науки. В школі за допомогою векторного метод розв’язується багато різноманітних задач, які не мають іншого способу розв’язання.

Саме тому вивчення поняття вектора є дуже важливим в сучасних умовах розвитку математичних наук.

1. Поняття вектора

В елементарній геометрії, як відомо, відрізком AB називається сукупність всіх точок прямої, що лежать між A і B. Точки A і B називаються кінцями відрізка. При цьому, очевидно, порядок, в якому беруться кінці відрізка, несуттєвий. Однак при використанні геометрії у вивченні фізики, особливо механіки, часто доводиться розглядати напрямлені відрізки, тобто відрізки, для яких вказані початкова і кінцева точки. Тобто AB і BA геометрично один і той же відрізок, то, розглядаючи їх як напрямлені відрізки, ми повинні враховувати, що вони задають різні об’єкти.

Означення 1. Відрізок АВ називається напрямленим, якщо береться до уваги порядок його кінцевих точок. Перша точка (А) називається його початком, а друга (В) – його кінцем.

Позначають напрямлений відрізок так: АВ.

Означення 2. Довжиною напрямленого відрізка

називається

довжина відрізка АВ. Позначають:

. Звідси = АВ =

Означення 3. Напрямлені відрізки АВ і CD називаються однаково напрямленими (спів напрямленими), якщо однаково напрямлені промені АВ і CD, і протилежно напрямленими, якщо ці промені протилежно напрямлені.

Означення 4. Вектором називається множина однаково напрямлених (спів напрямлених) відрізків однакової довжини.

Означення 4.1. Вектором називається напрямлений відрізок, тобто відрізок, для якого вказано, яка з обмежуючих його точок рахується першою, яка – другою. Перша точка напрямленого відрізка називається початком вектора, а друга точка – кінцем.

Напрямок вектора на кресленні відмічається стрілкою, оберненою гострим кінцем до кінця вектора. В тексті вектор записується двома великими літерами латинського алфавіту зі спільною рискою зверху, при цьому перша з них позначає початок, друга – кінець вектора. Наприклад,

, (мал. 1.a), причому А, C – відповідно початки, а В, D – кінці даних векторів. В деяких випадках вектор позначається також однією малою літерою, наприклад, a, b, c,… (мал. 1.b).

мал. 1.a мал. 1.b

Означення 5. Вектори

і називаються однаково напрямленими (спів напрямленими), якщо спів напрямлені відповідні їм напрямлені відрізки і (мал. 2.a), і протилежно напрямленими, якщо напрямлені відрізки і протилежно напрямлені (мал. 2.b).

мал. 2.a мал. 2.b

Означення 6. Довжиною (модулем) вектора називається довжина будь-якого представника класу спів напрямлених відрізків, який визначає цей вектор.

Інакше кажучи, довжиною вектора називається довжина напрямного відрізка, який зображає цей вектор.

Модуль вектора

позначають , а вектора АB – .

Вектор, початок якого збігається з його кінцем, називається нульовим вектором, позначають

або . Нульовий вектор не визначає ніякого напряму, а його довжина вважається рівною нулю.

Вектор, довжина якого дорівнює одиниці, називається одиничним вектором, або ортом.

Рівність векторів

Означення 1. Два вектори називаються рівними, якщо множини відповідних їм напрямлених відрізків збігаються. Пишуть:

= .

Всі нульові вектори вважаться рівними один одному.

Із цього означення випливає така ознака рівності двох векторів.

Теорема 1. (перша ознака рівності двох векторів).

Для того щоб два вектори були рівними, необхідно і достатньо, щоб вони були однаково напрямленими і мали рівні довжини.

Доведення:

1. Необхідність. Нехай вектори

і рівні. Доведемо, що і = .

Якщо

= , то, за означенням 1, множини напрямлених відрізків, які відповідають цим векторам, збігаються. Тому , = . Звідси , = , що й треба було довести.

2. Достатність. Нехай

, = . Доведемо, що = . Якщо, , = , то , = , тобто і належать одній і тій же множині однаково напрямлених відрізків рівної довжини. А це означає, що = . Теорему доведено.