Метод векторів та його застосування (стр. 8 из 15)

Теорема 2. Система трьох векторів

, , лінійно залежна тоді і тільки тоді, коли ці вектори компланарні.

Доведення.

1. Необхідність. Нехай система векторів

, , лінійно залежна. Тоді за властивістю 1 один із векторів є лінійною комбінацією інших векторів. Нехай, наприклад, = α +β . Із означення суми векторів випливає, що вектори , α , β компланарні, а тоді і вектори , , будуть компланарними, бо || α , || β .

2. Достатність. Нехай вектори

, , компланарні. Якщо || , то за попередньою теоремою вектори , лінійно залежні, а за властивістю 2 лінійно залежними будуть і вектори , , . Якщо ж не || , то за теоремою про розклад вектора за двома не колінеарними векторами = α +β . То за властивістю 1 система векторів , , лінійно залежна. Теорему доведено

4. Координати вектора

Нехай (

, , ) деякий базис простору , – довільний вектор цього простору. За теоремою про розклад вектора за трьома некомпланарними векторами існують єдині числа , , такі, що

= + + .

Коефіцієнти

, , розкладу вектора за базисними векторами називаються координатами вектора в даному базисі. При цьому число називається першою координатою, число – другою, а число – третьою.

Якщо вектор

в даному базисі має координати , , , то скорочено це записують так: ( , , ) або .

Встановимо геометричний зміст координат вектора в даному базисі. Для цього відкладемо вектори

, , і від деякої точки О простору (мал. 16): = , = , = , = .

Побудуємо паралелепіпед, ребра якого напрямлені вздовж прямих

, , , а діагоналлю є відрізок OA. Тоді = + + , де = , = = , = .