Метод векторів та його застосування (стр. 6 из 15)

2. Достатність. Нехай виконується рівність /1/, тоді

і або однаково, або протилежно напрямлені, а отже, вони колінеарні. Теорему доведено.

Зауваження 1. Якщо

= 0, 0, то теорема також справджується. У цьому випадку α =0.

Зауваження 2. Оскільки для колінеарних векторів

і завжди існує тільки одне число α таке, що = α , то звідси формально можна написати: α = , тобто можна розглядати відношення двох колінеарних векторів.

Відношення

: двох колінеарних векторів розуміють як число, на яке треба помножити вектор , щоб дістати вектор . Отже, відношенням двох колінеарних векторів є число, яке дорівнює відношенню їх модулів, взяте зі знаком «плюс», якщо вектори і однаково напрямлені, і зі знаком «мінус», якщо вектори протилежно напрямлені.

3. Компланарність векторів

Означення. Три ненульових вектори називаються компланарними

якщо відповідні їм напрямлені відрізки паралельні одній площині або лежать в одній площині.

Очевидно, що коли компланарні вектори

, , відкласти від довільної точки O ( = , = , = ), то точки О, А, В, С лежатимуть в одній площині (мал. 14).

Отже, якщо вектори компланарні, то існують такі їх представники, які лежать в одній площині.

Очевидно, що якщо серед трьох векторів є два колінеарних, то ці вектори компанарні. І навпаки, якщо три вектори некомпланарні, то серед них немає колінеарних.

Теорема 1. (про розклад вектора за двома не колінеарними векторами). Якщо вектори

, , компланарні, а вектори , неколінеарні, то існують єдині числа α, β такі, що: = α + β . /2/

Інакше кажучи, вектор

можна розкласти за векторами і і до того ж єдиним способом.

Доведення. Доведемо спочатку існування чисел α і β, що задовольняють рівність /2/. Відкладемо від деякої точки O вектори

= , = , = . Оскільки ці вектори компланарні, то точки О, А, В, С лежать в одній площині. Вектори і неколінеарні, тому O, A, B не лежать на одній прямій.

Можливі два випадки:

1. Точка С належить прямій ОВ (мал. 15a). Тоді вектори

і колінеарні і, отже, за попередньою теоремою, = β , де β – деяке число. Отже, =0* + β , тобто має місце розклад /2/.

2. С

(ОВ). Проведемо

|| OB (мал. 15b). Тоді за правилом трикутника = + . Але ця рівність можлива тільки тоді, коли α = , β = . Дійсно, якби, наприклад, α , то було б, || , що суперечить умові теореми. Отже, припущення неправильне. Тому існує єдиний розклад вектора за векторами і . Теорему доведено.

Теорема 2. (про розклад вектора за трьома некомпланарними векторами). Якщо вектори

, , некомпланарні, то для будь-якого вектора , існують і притому єдині числа α, β, γ такі, що = α +β +γ .