Метод векторів та його застосування (стр. 5 из 15)

Аналогічно розглядається випадок, коли α <0 (мал. 12).

Випадок α = 0 тривіальний. Отже, α (

+ ) = α +α .

Властивість 5. Операція множення вектора на число дистрибутивна відносно додавання чисел, тобто (α+β)

=α +β , і α, β R.

Доведення. Розглянемо два можливих випадки: αβ >0 і αβ <0 (випадок αβ=0 не викликає труднощів).

1. Нехай αβ >0, тобто числа α і β одного знаку. Тоді вектори (α+β)

і α +β однаково напрямлені. Крім того,

;

.

Отже,

і вектори (α+β) та α +β рівні.

2. Нехай αβ <0, тобто числа α і β різних знаків. Якщо α = -β, то (α+β)

=(-β+β) =0 =0; α +β = -β + β =0, отже, властивість справджується.

Якщо α

-β, тоді –α, α+β або –β, α+β одного знаку. Нехай, наприклад, -α, α+β одного знаку. Тоді за доведеним (-α) + (α+β) =(-α+α+β) =β (α+β) = α +β , що і треба було довести.

2. Колінеарність векторів

Означення. Два ненульових вектори

і називається колінеарними, якщо відповідні їм напрямлені відрізки паралельні або лежать на одній прямій.

Позначення:

|| (мал. 13).

Очевидно, колінеарні вектори або однаково напрямлені (мал. 13а), або протилежно напрямлені (мал. 12b). Нульовий вектор вважається колінеарним будь-якому вектору. Тому, якщо відомо, що деякі два вектори неколінеарні, то жоден з них не є нульовим вектором.

Теорема. (перша ознака колінеарності двох векторів). Два ненульових вектори

і колінеарні тоді і тільки тоді, коли існує деяке число α таке, що =α . /1/

Доведення.

1. Необхідність. Нехай

|| . Тоді або , або . Якщо , то = , оскільки ці вектори однаково напрямлені, то вони мають однакові модулі: = = . Позначивши α = , дістанемо =α . Якщо , то аналогічно доводиться, що = - . Нехай α = - , тоді також = α .