Метод векторів та його застосування (стр. 4 из 15)

Отже, вектор, який визначається формулою /2/, є різницею векторів

і : - = +(- )= . За правилом трикутника + = . Звідси
= - (мал. 10).

Отже, для побудови різниці векторів

і досить відкласти ці вектори від спільного початку ( = , = ) і провести вектор від кінця B вектора-від’ємника до кінця C вектора-зменшуваного; цей вектор і є шуканою різницею - : = - .

Множення вектора на число

Означення. Добутком вектора

на дійсне число α називається вектор , який задовольняє такі умови:

1)

= * ;

2)

, якщо α >0, і , якщо α <0.

Такий вектор позначається

= α .

Операція добутку вектора на число має такі властивості.

Властивість 1. α*

=0* = для будь-якого дійсного числа α і будь-якого вектора . Ця властивість випливає з умови 1) означення.

Властивість 2. Для будь-якого вектора

1* = ; -1* =- . Ця властивість випливає безпосередньо з означення.

Властивість 3. Для будь-якого вектора

і будь-яких дійсних чисел α і β: α(β )=(αβ) .

Доведення. Нехай α(β

)= , (αβ) = . Доведемо, що = . Маємо:

= * = * * ,

= * = * * .

Отже,

= . Покажемо, що . Якщо α і β одного знаку, то вектор однаково напрямлений з і однаково напрямлений з .Отже, . У випадку коли числа α і β протилежних знаків, , . Отже, також , що й треба було довести.

Властивість 4. Операція множення вектора на число дистрибутивна відносно додавання векторів, тобто α(

+ )=α +α , для , і α R.

Доведення. Нехай α > 0. Відкладемо вектори

= , = , =α , =α (мал. 11). Тоді + = , α +α = . Покажемо, що =α . Оскільки вектори і α , і α відповідно однаково напрямлені, то відповідні кути A і у трикутників OAB і рівні (як кути утворені при перетині двох паралельних прямих третьою). Крім того, сторони цих трикутників, що прилягають до рівних кутів, пропорційні: . Тому OAB ~ . Звідси випливає, що OAB= , а це означає, що промені OB і збігаються, тобто . Крім того =α* = * . Тому =α* .