Метод векторів та його застосування (стр. 3 из 15)

Доведення: Візьмемо довільну точку A і від неї відкладемо вектори

= , = , = (мал. 8). Тоді + = , ( + )+ = ; + = ; +( + )= . Отже, ( + )+ = +( + ).

Властивість 3. Сумою протилежних векторів є нуль-вектор:

+(- )=0.

Доведення. Нехай

= , тоді - = , і за правилом трикутника матимемо +(- )= + = =0.

Властивість 4. Нуль-вектор є нейтральним елементом операції додавання:

+ = + .

Доведення: Нехай

= , = , тоді за правилом трикутника + = + = = .

З наведених властивостей додавання векторів випливає, що операція додавання векторів має ті ж властивості, що й операція додавання чисел. Тому часто при перетворенні сум векторів діємо так само, як і при перетворенні числових виразів: (

+ )+ = +( + )=( + )+ = ( + ).

Сума більшої кількості векторів знаходиться за правилом многокутника. Щоб знайти суму n векторів

(мал. 9), потрібно з довільної точки O відкласти вектор = , з його кінця – вектор = ,…, = (початок кожного наступного вектора-доданка є кінцем попереднього). Вектор = буде сумою даних векторів.

Віднімання векторів

Операція віднімання векторів вводиться як протилежна до додавання. Означення. Різницею векторів

і називається такий вектор , який в сумі з вектором дає вектор : - = якщо + = . /1/

Доведемо, що вектор

існує і притому єдиний. Припустимо, що вектор існує. Тоді, додавши до обох частин рівності вектор (- ) і користуючись властивостями суми векторів, маємо: (- )+ + =(- )+ . /2/

Отже, якщо вектор

існує, то він визначається попередньою рівністю /2/, а тому єдиний. Дійсно, підставивши /2/ в /1/, одержимо правильну рівність: + +(- )= .