Метод векторів та його застосування (стр. 2 из 15)
Наслідок. Два вектори, кожен з яких дорівнює третьому, рівні між собою.
Теорема 2. (теорема про відкладання вектора).
Від будь-якої точки простору можна відкласти вектор, рівний даному, і до того ж єдиний.
Доведення: Нехай даний вектор
зображається напрямленим відрізком 
. Виберемо у просторі довільну точку О, сполучимо точку В з точкою О і позначимо середину відрізка ОВ через С (мал. 3). Проведемо 
відрізок АС і відкладемо на його продовженні відрізок CM=АС. Чотирикутник АВМО є паралелограмом, бо його діагоналі точкою перетину діляться пополам. Звідси випливає, що промені АВ і ОМ однаково напрямлені, а відрізки АВ і ОМ рівні. Отже,
= 
= 
. 
Доведемо тепер, що цей вектор єдиний. Припустимо, що існує інший вектор
= , відмінний від . Але ж і = , тому 
= . Отже, 
, 
= 
, тому точки M і 
збігаються, що суперечить припущенню. Тобто від точки O можна відкласти лише один вектор, рівний даному вектору . Теорему доведено.Означення 2. Два вектори називаються протилежними, якщо вони протилежно напрямлені і мають рівні довжини. Вектор, протилежний до
, позначається - (мал. 4). Очевидно, =- 
, – (- )= .Додавання векторів, властивості операції додавання векторів
Введемо операцію додавання векторів, яка відіграє важливу роль в векторній алгебрі.
Означення. Нехай задано два вектори
і 
. Від деякої точки A відкладемо вектор = , потім від точки B відкладемо вектор 
= . Вектор 
= 
називається сумою векторів і і позначається так: 
= + (мал. 5). Помітимо, що для знаходження двох неколінеарних векторів доводиться будувати трикутник. Тому вказане правило додавання векторів називають правилом трикутника. Це правило можна сформулювати так: для будь-яких трьох точок A, B і C 
+ 
= , або: сумою векторів і євектор , який сполучає початок вектора з кінцем вектора 
при умові, що вектор відкладено від кінця вектора .З цього правила випливає правило паралелограма: якщо вектори
і відкладені від спільного початку O, 
= , 
= (мал. 6) і на них побудовано паралелограм OACB, то сумою векторів + є вектор = 
, який виходить з того ж початку і збігається з діагоналлю OC паралелограма.Розглянемо властивості операції додавання векторів.
Властивість 1. Операція додавання векторів комутативна, тобто для будь-яких векторів
і : + = + . 
Доведення: За правилом трикутника маємо (мал. 7):Властивість 2. Операція додавання векторів асоціативна, тобто для будь-яких векторів
, , : ( + )+ = +( + )