Метод векторів та його застосування (стр. 12 из 15)

Тобто підмножина L простору

буде векторним підпростором простору , якщо вона сама є векторним простором.

6. Скалярний добуток векторів

Нехай

, − ненульові вектори. Відкладемо від деякої точки O вектори = , = . Кутом між векторами і називається кут між променями OA і OB (мал. 18). Позначають: ( , ) = φ. Для будь-яких векторів і маємо 0 ≤ ( , ) ≤ π.

Означення: скалярним добутком двох векторів називається число, яке дорівнює добутку їх довжин на косинус кута між ними:

= cos( , ).

Теорема: скалярний добуток векторів

( , , ), ( , , ), заданих в ортонормованому базисі, обчислюються за формулою:

= + + . /6/

Доведення. Якщо один із векторів або обидва нульові, то формула очевидна. Припустимо, що

, і розглянемо два випадки.

1. Вектори

і не колінеарні. Відкладемо вектори = , = (мал. 19). Нехай ( , ) = φ.

З

OAB за теоремою косинусів – 2 OAOBcosφ, або ,

звідки

=

. Отже, = + + .

2. Вектори

і колінеарні. Тоді = λ , = λ , = λ , = λ ;

= λ = cos(λ , ) = λ = λ( ) = λ + λ + λ = + +

Теорему доведено.

З теореми і означення випливають такі властивості скалярного добутку векторів:

1.

= 0 тоді і тільки тоді, коли , якщо , .