Нехай

– центр підгрупи

,

. Легко бачити, що

, причому

й

; аналогічно,

і

. Але тоді

, абелева й нормальна в.

Якщо

, те

, де

, і якщо

, те

, що тягне

. Отже,

. Якщо

абелева, те

, і ми маємо

Припустимо тепер, що

. Ясно, що

. Тому що

те

нильпотентна щабля

. Тому що

, те

ізоморфна

й має щабель

, а тому відповідно до леми 2.6 її нормальне замикання

в

має щабель

. Тому що

нормалізує

й

, те

нормальна в.

Отже,

, причому

. По індукції

Для групи

і її нильпотентної нормальної підгрупи

щабля

теорема також вірна по індукції. Тому

Теорема доведена.
Теорема 2.4. (Нейман [1]) Формація, породжена розв'язною групою, містить лише кінцеве число підформацій.
Доказ. Нехай

– підформація формації

. Якщо

, то по теоремі 2.3 має місце

, що й потрібно.
Екрани
Недоліком поняття групової функції

є те, що не завжди ущільнення

- центрального ряду нормальними підгрупами є

- центральним рядом.
Визначення 3.1. Відображення

класу

всіх груп у множину класів груп назвемо екраном, якщо для будь - якої групи

виконуються наступні умови:
1)

– формація;
2)

для будь - якого гомоморфізму

групи

;
3)

.
З умови 2) випливає, що екран

приймає однакове значення на ізоморфних групах, тобто є груповою функцією в змісті визначення 3.1. Крім того, видно, що якщо

– екран, те кожний f - центральний ряд після видалення повторень може бути ущільнений до f - центрального головного ряду, а виходить, клас груп, що володіють f - центральними рядами, співпадає з формацією

.
Лема 3.1. Нехай

– екран,

– група операторів групи

,

– деяка нормальна

- припустима підгрупа з

. Якщо

володіє нормальним

- припустимим рядом, фактори якого

- центральні відносно

, то один з таких рядів проходить через

.
Доказ. Нехай даний ряд, що задовольняє умові леми:

Нехай

. Тоді ряд

буде шуканим. У цьому неважко переконатися, використовуючи визначення екрана й

- ізоморфизми:

Лема 3.2. Справедливі наступні твердження:
1) перетинання будь - якої непустої множини екранів також є екраном;
2) об'єднання будь - якого непустого ланцюга екранів також є екраном.
Доказ. Перше твердження очевидно. Нехай непуста множина екранів

є ланцюгом, тобто лінійно впорядковано (з відношенням часткової впорядкованості

, уведеним у визначенні 3.5). Тоді для будь - якої групи

множина формацій

лінійно впорядковано щодо включення, а отже, через лему 1.1 об'єднання

є формацією. Тим самим лема доведена.
Визначення 3.2. Екран

назвемо:
1) p - однорідним, якщо він p - постійний і для будь - якої групи

і її силовської p – підгрупи

має місце

;