Надалі ми будемо вивчати формації, замкнуті щодо тих або інших операцій; зокрема, будуть розглядатися радикальні формації, тобто формації, що є одночасно й класами Фиттинга. Зараз ми звернемося до задачі побудова формацій за допомогою операцій

Теорема 2.1. Нехай

і

– формації, причому або

, або

замкнута щодо нормальних підгруп. Тоді

– формація, що збігається з добутком

Визначення 2.5. Нехай

– деяка множина груп. Нехай

– перетинання всіх тих формацій, які містять

клас

називається формацією, породженої множиною груп

Помітимо, що операцію

часто позначають інакше через

Якщо

те пишуть

замість

, причому в цьому випадку

називають формацією, породженою групою

.
Теорема 2.2. Для будь - якого класу

має місце рівність:

Доказ. Якщо

, те

, і твердження вірно. Нехай

. Тому що

, те клас

є

- замкнутим.

є клас і

по лемі 2.2. Використовуючи це й леми 2.3 і 2.4, одержуємо

Останнє означає

- замкнутість класу

. Отже,

– формація, що містить

, тому що

. Виходить,

. Зворотне включення очевидно.
Лема 2.5. Для будь - яких елементів

групи

виконуються рівності

Якщо

– підгрупи групи

, то виконуються наступні твердження:
1)

2)

для будь - якого гомоморфізму

групи

; зокрема, якщо група

з

нормалізує

й

, те

нормалізує й

Лема 2.6 Нехай

– підгрупа нильпотентної групи

, причому

. Тоді

Доказ. Для того щоб довести лему, досить установити, що при будь - якому натуральному

виконується включення:

При

це вірно, тому що

, а виходить,

. Припустимо, що включення (*) справедливо при якімсь

. Тоді, використовуючи лему 2.5, одержуємо

Тим самим (*) доведено.
Теорема 2.3 (Брайант, Брайс, Хартли [1]). Якщо

– така підгрупа групи

, що

, то

Доказ. Нехай

– нильпотентна нормальна підгрупа групи

, а

– така підгрупа з

, що

. Доведемо індукцією по

, що

. Це вірно, якщо

. Тому будемо вважати, що

. Розглянемо наступні підгрупи прямого добутку

Очевидно, підгрупа

нормалізує

й

. Позначимо через

підгрупу групи

, породжену підгрупами

. Оскільки проекції

на множники прямого добутку

рівні

, те

. Помітимо ще, що

, де

нормально в

і нильпотентна як добуток з

.