Лема 2.1.

. Якщо клас груп

містить одиничну групу й

- замкнуть, то

Доказ. Щодо операцій

і

твердження очевидно. Нехай

– довільний клас груп. Ясно, що

Якщо

, те в

найдеться нормальна підгрупа

така, що

. Група

має нормальну підгрупу

таку, що

й

Але тоді

Тому що

, те

, а виходить,

Таким чином,

, що й потрібно.
Нехай

. Якщо

, то

має нормальну

- підгрупу

таку, що

Група

має нормальну

- підгрупу

таку, що

. Тому що

й

, те з

- замкнутості класу

треба, що

. Виходить,

, тобто

. Зворотне включення очевидно.
Лема 2.2. Для будь - якого класу

справедливо наступне твердження:

Доказ. Якщо

, то

Нехай

Якщо

, те

, а виходить,

. Таким чином,

. Нехай

. Тоді

має такі нормальні підгрупи

, що

Група

має такі нормальні підгрупи

, що

Тому що

, те

, що й доводить рівність

Лема 2.3. Для будь - якого класу

має місце включення

Доказ. Якщо

, то

. Нехай

і група

є підпрямим добутком груп

, де

. Розглянемо функцію

. Функція

є гомоморфізмом групи

в групу

. Ясно, що

є добуток груп

, причому

. Отже,

, і лема доведена.
Лема 2.4.

У роботі Фишера, Гашюца й Хартли [1] уведене наступне поняття, у деякому змісті двоїсте визначенню формації.
Визначення 2.3. Клас груп

називається класом Фиттинга, якщо він одночасно

- замкнутий і

- замкнуть.
Клас Фиттинга ми будемо надалі називати інакше радикальним класом. Через подвійність (нормальна підгрупа – фактор - група) формацію можна було б назвати корадикальним класом.
Визначення 2.4. Нехай

непустий

- замкнутий клас, що містить 1. Позначимо через

і назвемо

- радикалом групи

добуток всіх її нормальних

- підгруп.
Класи

є радикальними.

- радикал групи

– це її підгрупа Фиттинга

- радикал позначають інакше через

і називають

- радикалом.

- радикал називають розв'язним радикалом; зрозумілі також терміни

- нильпотентний радикал,

- замкнутий радикал і т.д. Клас усіх

- нильпотентних груп є одночасно радикальним і корадикальним;

– це

- нильпотентний радикал групи

.