Нехай

, де

,

– елементарна абелева

- група.

для кожного

. Тому що

- замкнута (слабко

- замкнута), те звідси випливає, що

. Якщо

– перетинання в

усіх

- головних факторів групи

, то

Тому що

, те по лемі 3.10 підгрупа

є

- групою. Але тоді

, тому що по теоремі 3.3 має місце рівність

.
Теорема доведена.
Лема Чунихина 8 Нехай

,

,

. Тоді

. Зокрема, якщо

й

, те

непроста.
Доказ. З рівності

треба, що

Отже,

. Звідси, через

для кожного

, одержуємо

. Лема доведена.
Теорема Виландт 9 Група

розв'язна, якщо вона має три розв'язні підгрупи, індекси яких у

попарно взаємно прості.
Доказ. Нехай група

має розв'язні підгрупи

,

і

з попарно взаємно простими індексами. Тоді

. Нехай

– мінімальна нормальна підгрупа з

. Тому що

розв'язно, те

,

– простої число. Через умову теореми,

не ділить одночасно

й

. Нехай, для визначеності,

не ділить

. Це значить, що силовська

- підгрупа з

є силовською

- підгрупою групи

. Через теорему Силова

, де

. Тому що

й

, те по лемі

. Таким чином,

– неодинична розв'язна нормальна підгрупа групи

. У фактор - групі

індекси підгруп

,

і

попарно взаємно прості. По індукції

розв'язна, але тоді й

розв'язна. Теорема доведена.
Випливаючи Крамеру, уведемо наступне визначення.
Визначення. Клас груп

називається

- замкнутим (

– натуральне число), якщо

містить усяку групу

, що має

- підгруп, індекси яких у

при

попарно взаємно прості.
По визначенню, порожня формація

- замкнута для кожного

. Єдиної

- замкнутою непустою формацією, відмінної від

, умовимося вважати

.
Лема 10 Нехай

і

–

- замкнуті класи груп. Тоді

також

- замкнуть.
Доказ очевидно.
Наступна лема доведена Крамером.
Лема 11 Нехай формація

втримується в

і

- замкнута,

. Тоді формація

є

- замкнутою.
Доказ. Нехай група

має

- підгрупи

,

,…,

,індекси яких у

попарно взаємно прості. Тому що

, те по теоремі група

розв'язна. При будь - якому гомоморфізмі групи

образи підгрупи

належать

і мають попарно взаємно прості індекси. Тому можна вважати, що

- корадикал

групи

є її єдиною мінімальною нормальною підгрупою. Ясно, що

є

- групою для якогось

. Підгрупа Фиттинга

групи

також є

- групою. Індекс будь - якої підгрупи, що не містить

, ділиться на

. Тому

втримується принаймні в

підгрупах нашої системи підгруп

. Будемо вважати, що

,

. Тому що

є

- групою, те

й

,

. Звідси й з наслідку випливає, що

,

. Тому що

, те ми одержуємо, що

,

. Скориставшись

- замкнутістю формації

, ми приходимо до того, що

.