Дослідження локальних формацій із заданими властивостями (стр. 11 из 15)

Теорема Подуфалова, Слепова 2 Нехай

– максимальний внутрішній локальний екран формації . Формація - замкнута ( - замкнута) тоді й тільки тоді, коли для будь - якого простого формація - замкнута (відповідно - замкнута).

Доказ. Необхідність. Припустимо, що

- замкнуто ( - замкнута). Думаючи й застосовуючи теорему , ми одержуємо, що - замкнуто ( - замкнута) для будь - якого простого .

Достатність. Нехай для будь - якого простого

формація є - замкнутою ( - замкнутої). Нехай – підгрупа (нормальна підгрупа) неодиничної групи . Покажемо, що . Тому що , те володіє - центральним головним рядом

Нехай

. Тому що

те

, де . Нехай . За умовою й . Звідси, через , випливає, що . Тим самим установлено, що ряд

є

- центральним рядом групи . Теорема доведена.

Для будь - якого натурального числа

- замкнутий клас містить, по визначенню, кожну групу , у вигляді добутку нормальних - підгруп. Послабляючи цю вимогу, ми приходимо до наступного визначення.

Визначення. Клас груп

назвемо слабко - замкнутим, , якщо містить усяку групу , що має нормальних - підгруп з попарно взаємно простими індексами.

Легко помітити, що якщо

й – підгрупи групи причому й взаємно прості, те .

Теорема Слепова 3 Нехай

– локальний екран формації й нехай для деякого натурального числа виконується наступна умова: для будь - якого простого формація або збігається з , або входить в і є слабко - замкнутою. Тоді слабко - замкнута.

Доказ. Припустимо, що теорема невірна. Тоді існують групи, що не входять в

, але нормальних - підгруп з попарно взаємно простими індексами. Виберемо серед всіх таких груп групу найменшого порядку. Таким чином, не належить , але має нормальні - підгрупи з попарно взаємно простими індексами. Ясно, що всі підгрупи неодиничні.

Нехай

– мінімальна нормальна підгрупа групи . У підгрупи мають попарно взаємно прості індекси й належать . Тому що для теорема вірна, те . Ясно, що – єдина мінімальна нормальна підгрупа групи , причому й для кожного . Через теорему 4.3. Тому що , те найдеться таке , що . Розглянемо , де пробігає все - головні фактори групи . Тому що , те , . Можливі два випадки.