Дослідження локальних формацій із заданими властивостями (стр. 10 из 15)

Нехай

– найменше натуральне число, що задовольняє порівнянню . Тоді ділить . Добре відомо, що поле порядку містить порядку . Тому що циклічна група містить точно одну підгрупу кожного можливого порядку й ділить , то . Але тоді й . Лема доведена.

10. Формація

. Нехай – непуста формація, – такий локальний екран, що для будь - якого простого . Застосовуючи наслідок 7.1.1 можна побачити, що – екран формації . Зокрема, формації і є локальними формаціями.

Нехай

– локальний екран деякої підформації з . Застосовуючи леми 3.3 і 4.3, бачимо, що є локальним - екраном формації . Таким чином, кожна локальна підформація формації має внутрішній локальний - екран. Зокрема, будь - яка локальна підформація формації має внутрішній локальний - екран.

Локальні формації із заданими властивостями

Нехай

– деяка операція, – локальний екран формації . Природно виникають два питання:

1) чи Буде

- замкнутої, якщо - замкнута для будь - якого простого ?

2) чи Буде

- замкнутої для будь - якого простого , якщо - замкнута?

Ми дамо позитивну відповідь на ці питання в деяких конкретних випадках.

Теорема Слепова 1 Нехай

– деякий клас груп, – максимальний внутрішній локальний екран формації , – фіксоване простої число. Тоді справедливі наступні твердження:

1) якщо

, те ;

2) якщо

, те .

Доказ. Будемо доводити обоє твердження одночасно. Нехай

– одна з операцій , . Припустимо, що . Нехай – (нормальна) підгрупа групи й . Розглянемо регулярне сплетення , де , – елементарна абелева - група. По лемі 3.11. Тому що , те . Розглянемо головний ряд групи :

Нехай

. Тому що й , те

для кожного

. Отже, , де . По властивості регулярного сплетення . Отже, , і по лемі 3.10 підгрупа є - групою. Тому що й формація є по теоремі 3.3 - замкнутої, то ми одержуємо, що . Теорема доведена.