Беселеві функції (стр. 5 из 6)

, де ,

звідки

,

отже,

, де . (22)

Нехай тепер

. Розкладання по ступенях починається зі члена, що містить , розкладання по ступенях починається зі члена, що містить , тому що коефіцієнт при дорівнює нулю, що легко бачити, виходячи з формули (5). Отже, з (22) при одержимо

,

тобто

, (23)

звідки видно, що якщо

і є різними нулями функції , те

. (23`)

Цим доведено, що при

система функцій

на інтервалі

є ортогональної щодо ваги .

Переходячи до межі при

в співвідношенні

і використовуючи правило Лопиталя, одержимо при всякому

, (24)

отже, якщо

є нулем функції , те

. (24`)

Таким чином, при кожному

всякій безперервній функції на , що задовольняє вимозі

,

поставлений у відповідність ряд Фур'є-Беселя

, (25)

коефіцієнти якого визначаються формулами

. (25`)

Можна довести, що система функцій

на , ортогональна щодо ваги , замкнута. Зокрема, якщо ряд Фур'є-Беселя (25) рівномірно сходиться до його безперервної функції, що породжує.

Можна показати, що якщо

й безперервна на й функція, то ряд Фур'є-Беселя цієї функції сходиться до неї при .

6. Асимптотичне подання Беселевих функцій із цілим індексом для більших значень аргументу

Нехай

– позитивна функція й – яка-небудь функція для досить більших значень . Запис

при

означає, що найдуться такі числа

й M, що при маємо .

Подібний запис уживається й в інших аналогічних випадках. Наприклад, якщо

– позитивна функція й – яка-небудь функція, визначені для досить малих позитивних значень , то запис

при

означає, що найдуться такі числа

й , що на .

Допоміжна лема

Якщо

двічі безупинно диференцюєма на , то для функції

має місце асимптотичне подання

при .

Доведемо цю лему. Заміняючи на

, одержимо:

.(26)

Розглянемо інтеграл, що фігурує в правої частини формули (20). Заміняючи

на , знайдемо:

,

але, замінивши на

, одержимо:

.

Якщо

позитивно, убуває й прагнути до нуля при , то й , а отже, і є при , тому

при ,

звідки

при .

Отже, одержуємо асимптотичне подання:

при . (27)

Розглянемо тепер інтеграл, що фігурує в другому складати^ся правої частини формули (20). Маємо:

,

.

Очевидно,

двічі безупинно на , але існують і , тому стає безупинно диференцуєма на . Інтегрування вроздріб дає: