Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси (стр. 1 из 2)
Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси
Абзалимов Р.Р.
В настоящей работе предлагается метод расчета приближенных собственных чисел и собственных функций краевой задачи на полуоси для дифференциального уравнения второго порядка. Для численного расчета собственных чисел интервал
заменяется на 
, после чего задача решается на конечном отрезке. Точность приближенных собственных чисел будет зависеть от выбора граничного условия в точке R.I. Регулярная задача
Рассмотрим следующую краевую задачу:
, (1.1) 
, (1.2) 
. (1.3)Здесь предполагается, что q(x) кусочно-непрерывна на [a, b]. Наряду с данной задачей рассмотрим дифференциальные операторы вида:
, (1.4) 
с граничными условиями
, (1.5) 
, (1.6)где
. (1.7)Под собственными функциями краевой задачи (1.4)-(1.6) будем понимать функцию y(x), удовлетворяющую следующим условиям (см. [1]):
; 
; 
удовлетворяет граничным условиям (1.5) и (1.6); удовлетворяет так называемым условиям сопряжения 
(1.8)В каждом интервале
решения 
уравнения (1.4) имеют вид: 
. (1.9)Из условий сопряжения (1.8) и (1.9) имеем:
, (1.10)где
, 
выписываются явно (i=1,2; j=1,2; k=1..N). Таким образом, получаем: 
(1.11)Из первого краевого условия получаем зависимость
от 
, затем, подставляя во второе краевое условие (1.6), получаем уравнение для собственных значений задачи (1.4)-(1.6): 
, (1.12)где
выписывается явно.Пусть
- собственные значения и 
- соответствующие им собственные функции задачи (1.4)-(1.6), где через h обозначено 
,и пусть
- собственные значения задачи (1)-(3) и 
соответствующие им собственные функции. Введем обозначение: 
. (1.13)Заметим прежде, что
при 
.Тогда имеет место следующая
ТЕОРЕМА 1.1 Справедливы равенства
, (1.14) 
. (1.15)Доказательство. Вначале докажем равенство (1.15). Для этого рассмотрим уравнение (1.1) на интервале
. Представим ее в виде 
, (1.16)где
вычисляется по формуле (1.7). Для уравнения (1.16) получаем интегральные уравнения: 
, 
.Применяя метод последовательных приближений, получаем:
, (1.17)где
- решения уравнения (1.4).Следовательно, для всего промежутка [0,p] справедливо равенство (1.15).
Из (1.15) нетрудно установить неравенство:
, (1.18)где
при .Тогда имеет место следующее равенство:
(1.19)при
, где 
- оператор Штурма-Лиувилля задачи (1.1)-(1.3), а 
- оператор задачи (1.4)-(1.6). Из (1.18) и (1.19) нетрудно показать справедливость оценки (1.14). Теорема доказана.Следствие 1.1
, 
.Следствие 1.2
, где 
- характеристическое уравнение для собственных значений задачи (1.4)-(1.6), 
- характеристическое уравнение для собственных значений задачи (1.1)-(1.3).Следствие 1.3
и совпадают со всеми корнями уравнения 
.Следствие 1.4
образуют полную систему собственных функций.II. Сингулярная задача. Случай
.Будем рассматривать задачу
, (2.1) 
, (2.2)где
монотонно, т.е. уравнение (2.1) имеет не более одной точки поворота. Таким образом, для любого 
. В случае, когда , спектральная задача имеет дискретный спектр. Из представленного метода решения регулярной задачи следует, что 
; таким образом, для каждого задачи на полуоси ставится в соответствие своя регулярная задача на конечном отрезке 
. Если бы мы знали все значения собственных функций 
, соответствующие собственным числам задачи на полуоси, в точке 
, то, решая задачи на конечном промежутке с дополнительным граничным условием 
, мы могли бы вычислить все собственные числа задачи на достаточно точно. Исходя из сказанного, можно утверждать, что погрешность определения собственных чисел тем меньше, чем точнее выбор второго краевого условия. В связи с этим рассмотрим два краевых условия 
(условие Дирихле) и 
(условие Неймана). Пусть 
- собственные числа задач на конечном промежутке с дополнительными условиями Дирихле и Неймана соответственно. С помощью метода решения регулярной задачи доказываются следующие утверждения: