Наслідок 2. Якщо оцінка

задовольняє умови теорем, а статистика

- умову

де

- розподіл вибірки

, то

- незміщена й ефективна оцінка параметра

.
Наслідок 3. Нехай

- вибірка з дискретного розподілу

і для сумісного розподілу

випадкових величини

виконані умови теореми, тоді нерівність Крамера - Рао можна записати у вигляді

.
Нехай

- вибірка із розподілом

, що залежить від параметра

Параметр

невідомий і його необхідно оцінити за вибіркою

.
Означення. Функцією максимальної правдоподібності вибірки

будемо називати функцію

параметра

, що визначається рівністю

,

, якщо вибірковий вектор

абсолютно неперервний зі щільністю

і рівністю

,

, якщо вибірковий вектор

дискретний з розподілом

.
Метод максимальної правдоподібності побудови оцінок полягає в тому, що за оцінку параметра

вибирається точка

, в якій функція максимальної правдоподібності

досягає найбільшого значення.
Означення. Оцінкою максимальної правдоподібності будемо називати точку

, в якій функція максимальної правдоподібності досягає найбільшого значення.
Іншими словами, оцінкою максимальної правдоподібності параметра

будемо називати відмінні від константи розв’язки рівняння

,
якщо такі розв’язки існують. Корені, які не залежать від вибірки

, тобто мають вигляд

, де

- константа, слід відкинути (оцінка - це функція вибірки).
Логарифм

від функції максимальної правдоподібності

називають
логарифмічною функцією максимальної правдоподібності.Зазначимо, що функції

та

досягають найбільшого значення в одній і тій самій точці. А відшукати точку, в якій функція

досягає найбільшого значення, часто зручніше.
Якщо функція

диференційована по

, то для того щоб розв’язати рівняння

(1.3.1)
достатньо знайти стаціонарні точки функції

,
розв’язуючи рівняння

і, порівнюючи значення функції

у стаціонарних точках і на межі множини

, вибрати точку

, в якій функція

, досягає найбільшого значення. Ця точка і буде розв’язком рівняння (1.3.1).
Рівняння

називають рівняннями максимальної правдоподібності.
Метод найменших квадратів.
Нехай

- незалежні нормально розподілені випадкові величини з однаковою дисперсією

та середніми

лінійними по параметру

:

де

- відомі, не випадкові величини, а

- невідомі параметри, які слід оцінити. Кожну випадкову величину

можна представити:

де

- похибки спостережень та вони всі різні. Відносно

припускається:
1)

- незалежні випадкові величини,

;
2)

;
3)

,

,

- не корельовані (це означає, що

та

не пов’язані між собою лінійною залежністю).

;
4)

~

.
МНК - оцінкою параметрів

називають точку

, в якій функція

досягає мінімального значення.
Диференціюємо цю функцію за параметрами

:

,

.
Прирівнюємо похідні нулеві:

Розглянемо систему рівнянь: