
і є незміщеною оцінкою дисперсії

.
Ситуація змінюється, коли математичне сподівання розподілу

невідоме і в якості оцінки математичного сподівання розглядається

.
Тоді вибіркова дисперсія

вже не є незміщеною оцінкою.
Оцінка

є асимптотично незміщеною оцінкою для

. Оскільки незміщеність - одна з необхідних властивостей, яку повинна мати добра оцінка, змінимо оцінку

так, щоб отримати незміщену оцінку для

.

.
Оцінка

незміщена оцінка для

.
Проте парадокс оцінок дисперсії показує, що не завжди треба обмежуватися розглядом лише незміщених оцінок. Інколи оцінка з малим зсувом і малою мірою розкиду значень оцінки краща незміщеної оцінки з великою дисперсією.
Парадокс.
Нехай

- вибірка з нормального розподілу

з параметрами

. Оцінка

незміщена оцінка для

, а оцінка

для

така, що міра розкиду оцінки

відносно

мінімальна. Вимога незміщеності і мінімуму міри розкиду приводять до різних оцінок. Треба дізнатися якій з оцінок віддати перевагу.
Пояснимо парадокс. Розглянемо клас оцінок

.
Математичне сподівання оцінок

дорівнює

.
Тобто в класі оцінок

існує єдина незміщена оцінка

, яка відповідає

і ця оцінка є

:

. (1)
Міра розсіювання оцінок

відносно

обчислюється за формулою:

. (2)
Позначимо через

функцію параметра

. (3)
Знайдемо

, при якому

досягає найменшого значення. Це значення

. (4)
При цьому

має вигляд:

. (5)
Одержуємо нерівність (6). Міра розсіювання оцінки

відносно

менша ніж міра розсіювання оцінки

відносно

.

. (6)
Таким чином, на підставі вимоги мінімуму міри розсіювання оцінки зміщена оцінка

,
зміщення якої

(7)
мале при чималому об'ємі вибірки

, краще оцінює дисперсію

, чим незміщена оцінка

.
Цей парадокс показує, що не може бути єдиного критерію, за яким необхідно порівнювати всі оцінки, як не існує єдиної оцінки даного параметра

, яка прийнятна для всіх випадків.
Зауважимо.
Вибіркова дисперсія

при відомому математичному сподіванні - ефективна оцінка для

. Оцінка

не є ефективною оцінкою для

. Ефективної оцінки для

(при невідомому математичному сподіванні) не існує, тобто ні для якої незміщеної оцінки параметра

нерівність Крамера - Рао не обертається в рівність.
Парадокс Байєса.
Історія парадоксу.
Теорема Томас Байєс, доведена близько 1750 р. і опублікована лише після смерті автора, стала джерелом суперечок в статистиці. Вони не припинилися й досі. Сформулюємо теорему Байєса. Нехай події

, утворюють повну групу подій. Тоді для будь-якої події

умовна ймовірність події

відносно

рахується за формулою

(1)
Формула Байєса дозволяє за апріорними ймовірностями

подій знайти апостеріорні ймовірності подій

. В більшості її застосувань апріорні імовірності

невідомі. В цьому випадку вважають, що, оскільки відсутня попередня інформація про події

, то усі ймовірності

рівні, але такий підхід, взагалі кажучи, неприйнятний.
Байєс використовував свою теорему у випадках, коли апріорні імовірності

були випадковими величинами, зокрема, рівномірно розподіленими на

.
Нехай

- випадкова величина рівномірно розподілена на

.

.
Вважаємо, що щільність апріорна.
Позначимо через

- подію, яка полягає у тому, що "в

випробовуваннях Бернуллі подія

відбулась

разів", при цьому ймовірність події

дорівнює

.