60*3 + 60*4 + 50*3 + 50*2 + 40*1 + 20*1 = 730
Для визначення оптимальності поліпшеного опорного плану знову застосуємо метод потенціалів — задамо нульовий потенціал першому рядку, а решту потенціалів визначимо враховуючи отримані клітинки:
| В1 | В2 | В3 | В4 | потенц. |
| А1 | 3 | 4 | 0 | |
| А2 | 3 | 2 | -1 | |
| А3 | 1 | 1 | -3 | |
| потенц. | 4 | 3 | 3 | 4 |
Визначаємо оцінки для вільних клітинок:
| В1 | В2 | В3 | В4 | потенц. |
| А1 | -1 | -1 | 0 | |
| А2 | -3 | -2 | -1 | |
| А3 | -6 | -3 | -3 | |
| потенц. | 4 | 3 | 3 | 4 |
Оскільки всі отримані оцінки не більші нуля, то останній опорний план є оптимальним [5, с. 51]. Отримуємо оптимальний план перевезення:
| Маршрут | Кількість | Вартість |
| А1 — В3 | 60 | 180 |
| А1 — В4 | 60 | 240 |
| А2 — В1 | 50 | 150 |
| А2 — В2 | 50 | 100 |
| А3 — В1 | 40 | 40 |
| А3 — В4 | 20 | 20 |
| Всього | 730 | |
Відповідь:
Вартість оптимального плану транспортної задачі дорівнює 730.
Завдання 4. Методом множників Лагранжа знайти умовні екстремуми функцій
f = x12 + x1x2 + x22 - 3x1 - 6x2 за умови x1 + x2 = 3.
Рішення.
Перепишемо умову у вигляді c(x1, x2) = 0:
x1 + x2 - 3 = 0
Тоді функція Лагранжа [5, с. 153]:
L(x1, x2, λ) = f(x1, x2) + λ c(x1, x2)
L(x1, x2, λ) = x12 + x1x2 + x22 - 3x1 - 6x2 + λ(x1 + x2 - 3)
УточціекстремумучастинніпохідніфункціїЛагранжадорівнюютьнулю [5, с. 154]:
∂L(x1, x2, λ) / ∂x1 = 2x1 + x2 - 3 + λ
∂L(x1, x2, λ) / ∂x2 = x1 + 2x2 - 6 + λ
Отримуємонаступнусистему:
2x1 + x2 - 3 + λ = 0
x1 + 2x2 - 6 + λ = 0
x1 + x2 - 3 = 0
Віднімаємодругерівняннясистемивідпершогоівизначаємоx2:
x1 - x2 + 3 = 0
x2 = x1 + 3
Підставляємо отримане x2 в третє рівняння системи:
x1 = 0
x2 = x1 + 3 = 3
Отже точка (0; 3) — умовний екстремум функції f, який дорівнює:
f(0; 3) = 32 - 6*3 = -9
Розглянемо іншу довільну точку (3; 0), для якої виконується умова задачі. Значення функції для цієї точки:
f(3; 0) = 32 - 3*3 = 0
Оскільки f(0; 3) < f(3; 0), то знайдений умовний екстремум — це умовний мінімум.
Відповідь: Умовний мінімум функції f досягається в точці (0; 3) і дорівнює -9.
Список використаної літератури
1. Вітлінський В.В., Наконечний С.І., Терещенко Т.О. Математичне програмування: Навчально-методичний посібник для самостійного вивчення дисципліни. — К.: КНЕУ, 2001. — 248 с.
2. Заварыкин В.М., Житомирский В.Г., Лапчик М.П. Численные методы: Учебное пособие для студентов. — М.: Просвещение, 1991. — 176 с.
3. Лавренчук В.П., Веренич І.І., Готинчан Т.І., Дронь В.С., Кондур О.С. Математичне програмування (методичний посібник для студентів економічних спеціальностей). — Чернівці: Рута, 1998. — 168 с.
4. Наконечний С.І., Савіна С.С. Математичне програмування: Навчальний посібник. — К.: КНЕУ, 2003. — 452 с.
5. Попов Ю.Д., Тюптя В.І., Шевченко В.І. Методи оптимізації. — К.: КНУ, 2003. — 215 с.