Сущность теории вероятностей (стр. 1 из 7)

Содержание

Введение………………………………………………………..2

Задание №1…………………………………………………….4

Задание №2…………………………………………………….5

Задание №3…………………………………………………….9

Задание №4…………………………………………………….13

Задание №5…………………………………………………….14

Задание №6…………………………………………………….18

Задание №7…………………………………………………….20

Задание №8…………………………………………………….23

Задание №9…………………………………………………….27

Задание №10…………………………………………………...28

Список использованной литературы………………………41

Введение

Теорией вероятностей называется математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях. Ее предметом являются специфические закономерности, наблюдаемые в случайных явлениях.

При научном изучении и описании окружающего мира часто приходится встречаться с особого типа явлениями, которые принято называть случайными. Для них характерна большая по сравнению с другими степень неопределенности, непредсказуемости. Случайное явление — это такое явление, которое при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта протекает каждый раз несколько по-иному.

Совершенно очевидно, что в природе нет ни одного явления, в котором не присутствовали бы в той или иной мере элементы случайности. Как бы точно и подробно ни были фиксированы условия опыта, невозможно достигнуть того, чтобы при его повторении результаты полностью и в точности совпадали. Случайные отклонения неизбежно сопутствуют каждому закономерному явлению. Тем не менее в ряде практических задач этими случайными элементами можно пренебречь, рассматривая вместо реального явления его упрощенную схему, «модель», и предполагая, что в данных условиях опыта явление протекает вполне определенным образом. По мере развития науки число учитываемых факторов становится все больше, научный прогноз — все точнее. Это — классическая схема так называемых «точных наук» — от условий опыта к его однозначному результату.

Однако для решения ряда задач такая схема оказывается плохо приспособленной. Это — те задачи, где интересующий нас результат опыта существенно зависит от столь большого числа факторов, что практически невозможно зарегистрировать и учесть их все. В этих задачах многочисленные второстепенные факторы так тесно связаны с результатом опыта, что ничтожное, на первый взгляд, их изменение может сыграть решающую роль, обусловить «успех» или «неуспех» опыта. В таких случаях классическая схема точных наук — детерминистская — оказывается непригодной.

Методы теории вероятностей не отменяют и не упраздняют случайности, непредсказуемости исхода отдельного опыта, но дают возможность предсказать, с каким-то приближением, средний суммарный результат массы однородных случайных явлений. Чем большее количество однородных случайных явлений фигурирует в задаче, тем отчетливее выявляются присущие им специфические законы, тем с большей уверенностью и точностью можно осуществлять научный прогноз.

Характерным для современного этапа развития науки является все более широкое применение вероятностных методов во всех ее областях. Это связано с двумя причинами. Во-первых, изучение явлений окружающего мира, становясь более глубоким, требует выявления не только основных закономерностей, но и возможных случайных отклонений от них. Во-вторых, наука все больше внедряется в такие области практики, где наличие и большое влияние именно случайности не подлежит сомнению, а иногда даже является определяющим.

В настоящее время нет практически ни одной области науки, в которой в той или иной степени не применялись бы вероятностные методы. В одних науках в силу специфики предмета и исторических условий эти методы находят применение раньше, в других — позднее.

Знакомство с методами теории вероятностей необходимо сегодня каждому грамотному менеджеру, и не только ему. На сегодняшний день, нет области знаний, где не могли бы сказать свое слово эти методы исследования.

Задание 1

Налоговая инспекция из общего числа N малых предприятий (x_1, x₂,…, x_N)_, имеющих учетные номера 1,2,3,…N, для проверки отбирает случайным образом K предприятий, номера которых затем располагает в возрастающем порядке: x₁ < x₂<,…,< x_k . Вычислить вероятность того, что под номером j в ранжированном ряду будет предприятие с учетным номером L.

Дано: N=60; K=17; J=15; L=52

Найти: Р(А)-?

Решение:

Обозначим событием А то, что под номером 15 в ранжированном ряду окажется предприятие с учетным номером 52.

Так как из общего числа исходов нас интересует число благоприятствующих исходов и поскольку налоговая служба отбирает предприятия для проверки случайным образом, то отборы равновозможны. Поэтому для определения вероятности воспользуемся классическим способом. Воспользуемся элементами комбинаторного анализа и формулой гипергеометрического распределения.

Число благоприятствующих исходов:

Способов выбрать К предприятий из N предприятий:

Ответ:

вероятность того, что в ранжированном ряду под номером 15 будет предприятие с учетным номером 52 равна: Р(А)=0,324049.

Задание 2

На плоскости проведены параллельные прямые, отстоящие друг от друга на расстоянии 2h. На плоскость случайным образом (на удачу) бросается тонкий стержень (игла) длиной 2l (l<h).Появление центра на отрезке 2h в любой его точке равновозможно, как и появление любого значения угла φ между стержнем и прямой на интервале (0,π).

Попадание центра стержня на отрезок 2h и угловая ориентация φ стержня – события независимые. Требуется при заданных исходных данных 2h и 2l:

1.Определить вероятность того, что стержень пересечёт какую-либо прямую.

2.Методом статистических испытаний определить эмпирическое значение числа π при заданных h,l и числе испытаний n ≥100. Описать опыт и представить таблицу результатов испытаний.

Дано: 2h=80; 2l=62

Решение:

Обозначим:

Событие А – игла пересекла какую-либо прямую

Введем обозначение Х – расстояние от середины иглы до ближайшей прямой

Угол φ – угол, составленный иглой с параллелью

1.Определим вероятность Р(А)

Положение иглы полностью определяется заданием Х и φ, причем Х принимает значение от 0 до h, возможные значения φ от 0 до π. Другими словами середина иглы может попасть в любую из точек прямоугольника со сторонами h и φ.

Таким образом данный прямоугольник можно рассматривать как фигуру G, точки которой представляют собой все возможные положения центра иглы. Площадь фигуры G=h*π

Найдем теперь такую фигуру g, каждая точка которой благоприятствует появлению события А, т.е.каждая точка которой может служить серединой иглы, которая пересекает ближайшую к ней параллель при условии, что

X<l*sin φ т.е.если середина попадет в любую из точек заштрихованной фигуры на рисунке.

Таким образом заштрихованную фигуру можно рассматривать как фигуру g. Найдем площадь этой фигуры:

g=

P(A)=

P(A)=0.4936

Значит, вероятность того, что игла пересечет какую-либо прямую равна 0.4936.

2.Методом статистических испытаний определим эмпирическое значение числа

. Я буду проводить опыт с бросанием иглы 200 раз. Если игла пересечет какую-либо прямую(событие А) то вероятность данного опыта – 1, если не пересечет то вероятность данного опыта равна – 0.

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
А	0	1	1	0	1	0	1	0	1	0