Сущность теории вероятностей (стр. 4 из 7)
4) Центральный момент k-ого порядка вычисляется по формуле:
Начальный момент k-ого порядка определяется равенством:
Выразим центральные моменты 3 и 4 порядка через начальные моменты:
μ3=ν3 - 3ν1ν2+ 2ν13
μ4= ν4 - 4ν1ν3 + 6ν12ν2 - 3ν14
Вычислим начальный моменты 2,3,4-го порядков:
Коэффициенты ассиметрии и эксцесса расчитываются по формулам:
Подставляя известные значения получаем:
5) Для определения вероятности воспользуемся формулой для расчета вероятности попадания СВ в интервал:
P(x1≤X)=1-P(X<x1)=1-F(x1)
Подставляя известные значения получаем:
Ответ:
1) значения параметра «а» равно 0.9277.
2) функция распределения имеет вид:
| F(x) = | 0,2158· (0.7  -x-4,3), при x≥0,7 |
| 0, при x<0,7 |
3) математическое ожидание Mx=0,9122, дисперсия Дx=0,0839, среднее квадратическое отклонение годового дохода равно σ =0,2897.
4) значения третьего и четвертого центральных моментов равно
3=0,127 и 4=1,8859 соответственно, коэффициенты ассиметрии и эксцесса равны AS=5,222 и EC=264,7405.5) размер годового дохода Х1 в тыс. у.е., не ниже которого с вероятностью Р окажется годовой доход случайного выбранного налогоплательщика равен 0,8045.
Задание 6
Производится «n» независимых испытаний, в каждом из которых события А может появиться с вероятностью Р.
Требуется:
1)Определить вероятность того, что событие А появится при n – испытаниях равно k - раз.
2)Определить вероятность того, что событие А появится при n – испытаниях более m - раз.
3)Определить вероятность того, что событие А появится при n – испытаниях не менее k1 - раз, но не более k2 - раз.
4)Вычислить среднее число появления события А при n – испытаниях и среднее квадратическое отклонение числа появлений события А.
5)Определить с какой вероятностью должно появляться события А в каждом из «n» - опытов при условии, что вероятность не появления события А ни в одном из «n» - опытов равна Р0.
Дано:
n=10; k=4; P=0.6; m=2; k1=3; k2=6; P0=0.3; q=0.4
Найти:
1) Р(m=3)-?
2) Р(m>1)-?
3) Р(2≤m≤5)-?
4) mx-?;
-?5) Р1 (А)-?
Решение:
Поскольку испытания независимы и р=const, то используем схему Бернулли. Обозначим Х число испытаний в которых событие А наступило. Х={1,2,..10}
X принадлежит биномиальному закону распределения.
1) Для расчёта вероятности наступления события k раз применяем формулу Бернулли
2) Для того, чтобы найти вероятность того, что событие наступит более m раз воспользуемся формулой ) Р(m>1)=1 – [Р(0)+Р(1)+Р(2)]
3) Для нахождения вероятности наступления события не менее m1, но не более чем m2 раз (m1≤m≤m2) воспользуемся формулой
4) Так как Х принадлежит биномиальному распределению, то
5)
Ответ:
1) Р(k=3)=0.1114
2) Р(x>2)=0.88694
3) Р(3≤x≤6)=0.6045
4) mx=6;
2.4 =1.545) p=0.1204
Задание 7
Дискретная двумерная случайная величина (X, Y) описывается законом распределения вероятностей, заданного рядом распределения вероятностей, представленным в таблице:
 Xi Yj | X1 | X2 |
| Y1 | P11 | P12 |
| Y2 | P21 | P22 |
| Y3 | P31 | P32 |
Требуется:
1. Определить частные законы распределения компонент X и Y случайного вектора соответственно.
2. Определить условный закон распределения случайной величины X при условии, что Y приняла значение yj.
3. Определить условный закон распределения случайной величины Y при условии, что X приняла значение xi.
4. Вычислить математические ожидания и дисперсии компонент X и Y.
Дано: P11=0,15; P12=0,10
P21=0,25; P22=0,15
P31=0,15; P32=0,20
Yj=Y2
Xj=X1
Решение:
1)Определим закон распределения компонент случайного вектора X, для этого воспользуемся формулой:
, где 
представляет собой не что иное, как вероятность того, что случайная величина X примет значение 
, таким образом получим ряд распределения случайной величины X. 
В результате получим закон распределения:
| X | X1 | X2 |
| P(X) | 0,55 | 0,45 |
Произведем проверку, для этого сложим вероятности:
P(X) = 0,55+0,45=1;
Следовательно закон распределения Х вычислен правильно.
Определим закон распределения компонент случайного вектора Y, для этого воспользуемся формулой:
Получим следующий закон распределения:
| Y | Y1 | Y2 | Y3 |
| P(Y) | 0,25 | 0,40 | 0,35 |
Проверка: