Чисельні методи розвязування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь (стр. 2 из 8)

3.Метод колокацій:

У методі колокацій розв'язок крайової задачі (11.4), (11.5) шукається у вигляді функції

. (11.36)

де

- лінійно незалежні, двічі диференційовані базисні функції, визначені на відрізку

. Функція

повинна задовольняти задані граничні умови (11.5):

(11.37,а)

а функції

- відповідні однорідні граничні умови, тобто

. (11.37,б)

Через лінійність граничних умов функція

у (11.36) задовольняє граничним умовам (11.24) для будь-яких значень

. Наприклад, у точці

маємо

Аналогічно для

отримаємо

Суть методу колокацій полягає в тому, що для заданих

точок на відрізку

, названих вузлами колокації, підбирають значення

так, щоб отримана при цьому функція

(11.36) задовольняла рівняння (11.4) у кожному з вузлів колокації:

(11.38)

де

Покладемо

, (11.39)

тоді (11.39) матиме стандартний вигляд системи лінійних алгебраїчних рівнянь:

(11.40)

відносно коефіцієнтів

. Якщо розв'язати цю систему і підставити отримані значення коефіцієнтів у вираз (11.36), отримаємо наближений розв'язок

Точність розв'язку крайової задачі методом колокацій залежить від типу базисних функцій

. У конкретних задачах вибір цих функцій слід здійснювати з урахуванням апріорної інформації про розв'язки задачі або на основі емпіричних даних. Нехай

- це лінійна функція

, (11.41)

параметри якої визначимо таким чином, щоб вона задовольняла неоднорідні граничні умови (11.5), тобто з системи рівнянь

. (11.42)

Функції

можна задати у вигляді:

. (11.43)

Очевидно, що за будь-яких

функція (11.43) задовольняє умову (11.37, а). Значення

, за якого буде задовольнятися друга умова (11.37, б), таке:

. (11.44)

Якщо в умовах (11.37, а, б)

, то можливий інший вибір, а саме:

. (11.45)

4.Метод Гальоркіна

Як і в методі колокацій, у методі Гальоркіна наближений розв'язок крайової задачі (11.4), (11.5) шукаємо у вигляді

(11.48)

де

- лінійно незалежні, двічі диференційовані базисні функції, визначені на відрізку

. Функція

повинна задовольняти задані граничні умови (11.37, а), а функції

- відповідні однорідні граничні умови (11.37, 6).

Необхідно, щоб система базисних функцій

була ортогональною на відрізку

, тобто

при

і повною. Остання вимога означає, що не повинно існувати ніякої іншої відмінної від нуля функції, яка ортогональна до всіх функцій

Використовуючи наближений розв'язок (11.48) знайдемо нев'язку:

(11.49)

Коефіцієнти

мають бути такими, щоб значення інтеграла від квадрата нев'язки

було найменшим.

Це досягається лише в тому випадку, коли нев'язка

ортогональна до всіх базисних функцій

. Умову ортогональності запишемо у вигляді:

або

(11.50)

Таким чином, отримаємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь для обчислення коефіцієнтів

5.Метод найменших квадратів

У методі найменших квадратів наближений розв'язок крайової задачі (11.4) і (11.5) задасться у вигляді:

, (11.54)

де

- лінійно незалежні, двічі диференційовані базисні функції, визначені на відрізку

. Функція

повинна задовольняти задані граничні умови (11.37, а), а функції

- відповідні однорідні граничні умови (11.38, б).

Підставимо наближений розв'язок (11.54) у рівняння (11.4) і знайдемо нев'язку:

, (11.55)

абсолютна величина якої для

повинна бути якомога меншою. Тому вимагатимемо, щоб виконувалася умова

(11.56)