Складність деяких методів експоненціювання точки кривої (стр. 1 из 3)

Складність деяких методів експоненціювання точки кривої

Найпоширенішою операцією у всіх криптографічних алгоритмах є

- кратне додавання точки , позначуване як

Цю операцію звичайно називають скалярним множенням, або, звертаючись до термінології мультиплікативної групи, експоненціюванням точки кривої.

З метою підвищення продуктивності під час обчислення точки

багатьма авторами запропоновано різні методи. Дамо стислий опис й оцінку складності найпоширеніших з них.

Підхід до розрахунку точки

може відрізнятися залежно від того, чи є точка фіксованою (заздалегідь відомою) або довільною точкою. У першому випадку завжди можна користуватися передрозрахунками точок, наприклад, , які зберігаються в пам'яті. Двійкове подання числа дозволяє селектрувати ті з них, які в результаті підсумовування утворять точку . У другому, більш загальному випадку, всі обчислення доводиться проводити в реальному часі.

Нехай порядок

і число подано у двійковій системі

Розглянемо спочатку основні алгоритми експоненціювання при невідомій заздалегідь точці

експоненціювання алгоритм скалярне множення

Алгоритм подвоєння-додавання

Це найприродніший і найпростіший метод, при якому обчислення здійснюються за формулою

Ці обчислення на основі методу розрахунку ліворуч-праворуч здійснюються за допомогою наступного алгоритму.

Алгоритм 1.

Вхід:

Вихід:

1.

2.

2.1

2.2

3.

.

Реалізація методу вимагає

операцій подвоєння точки й додавань , де - вага Хеммінга двійкового вектора (число одиниць цього вектора). Оскільки в середньому число одиниць випадкового вектора дорівнює , загальне число групових операцій оцінюється величиною

Алгоритм подвоєння-додавання-віднімання

Попередній алгоритм можна вдосконалити, якщо вести додаткову операцію-віднімання точки. Цей метод запропонований в 1990 році Ф. Морейном і Дж. Олівосом. Наприклад, число

у двійковій системі має вага у , але його можна подати як з вагою Ця ідея знижує вагу Хеммінга і, відповідно, число групових операцій. Реалізувати алгоритм подвоєння - додавання віднімання можна переходом від двійкового подання числа до трійкового з коефіцієнтами Одне із властивостей подання - відсутність у ньому суміжних пар ненульових елементів, завдяки чому зростає питома вага нульових елементів . Для розрахунку використовується наступний алгоритм.

Алгоритм 2.

Вхід: позитивне ціле число

Вихід:

1.

2.

2.1

2.2

2.3

3.

Після розрахунку

обчислюється точка методом ліворуч-праворуч за допомогою алгоритму 3.

Алгоритм 3.

Вхід:

Вихід:

1.

2.

2.1

2.2

2.3

3.

.

-подання числа може виявитися на один біт більше двійкового. Водночас, для випадкового ймовірність ненульових елементів і знижується від до , тобто, у середньому, для - розрядного числа їхня кількість оцінюється величиною . Тоді загальне середнє число групових операцій додавання й подвоєння в алгоритмі 3 можна оцінити як суму

Метод вікон з алгоритмом подвоєння - додавання - віднімання

Якщо в криптосистемі є резерви пам'яті, їх можна задіяти для подальшого збільшення швидкості обчислень. Ідея в тому, що замість точки

можна експоненціювати і надалі складати суміжні блоки або вікна шириною в - поданні точки

Для цього розраховується за допомогою алгоритму 2 трійкове число

, що потім може розбиватися на блоки довжиною, не менше

Назвемо

- вікном числа непарний коефіцієнт утримуючий хоча б один ненульовий елемент. Зазначимо, що . Наприклад, при маємо вісім різних значень