Зауважимо , що загальний розв’язок диференціального рівняння (5.5) є однорідна лінійна функція від довільних констант .
Твердження 5.1. Диференціальне рівняння (5.5) не може мати більше ніж n лінійно незалежних частинних розв’язків.
Дійсно , нехай ми маємо (n+1) частинний розв’язок . Розглянемо nперших . Якщо вони лінійно залежні , то і всі будуть лінійно залежні , так як
, a < x < b, де всі не дорівнють нулю . Якщо ж вони лінійно залежні, то по теоремі 5.4. будь-який розв’язок , в тому числі і виражається через , , ... , , тобто =. Так , що (n+1)-ий розв’язок знову виявився лінійно залежним .
Для побудови диференціального рівняння типу (5.5) по системі лінійно незалежних функцій (x), (x), ... , , які n раз неперервно диференційовані на (a,b) , вронскіан яких , (a,b) необхідно розглянути вронскіан порядку (n+1)
= 0
і розкрити цей визначник по останньому стовпцю .
Якщо відомо один частинний ненульовий розв’язок диференціального рівняння (5.5) , то можна понизати порядок його на одиницю заміною
, або (5.25)
Тоді
і диференціального рівняння (5.5) запишемо у вигляді
Ми отримали диференціальне рівняння порядку (n-1) .
Якщо маємо к лінійно незалежнихчастинних розв’язків , то диференціальне рівняння (5.5) можна понизити на к одиниць .