тобто
(5.53)
Тоді загальний розв’язок знаходять в параметричній формі
(5.54)
Якщо Д.Р. (5.49) має вигляд
(5.55)
тоді це рівняння легко параметризується .В частинному випадку . Загальний розв’язок запишеться в формі
(5.56)
Приклад 5.6.
Зайти загальний розв’язок рівняння .
Вводимо параметризацію .
, ,
Маємо
Загальний розв’язок в параметричній формі.
в) Д.Р., які не містятьнезалежної змінної.
Це рівняння вигляду
(5.57)
Якщо рівняння (5.57) розв’язане відносно , тобто
(5.58)
то
(5.59)
Являється загальним інтегралом Д.Р. (5.57). Особливими розв’язками можуть бути криві , де – корені рівняння (або ).
Якщо Д.Р. (5.57) не можна розв’язати відносно , але воно допускає параметризацію
(5.60)
то
(5.61)
Загальний розв’язок Д.Р. (5.57) в параметричній формі.
Приклад 5.7.
Розв’язати . Введемо параметризацію .
звідки
зашальний розв’язок нашого рівняння.
г) Узагальнено однорідні рівняння.
Д.Р. назвемо узагальнено однорідним, якщо ліва частина являється однорідною функцією аргументів , яким відповідають величини -го, -го і виміру, тобто
(5.62)
Зробимо заміну
(5.63)
де – нова незалежна змінна, – нова шукана функція. Маємо
тобто . З іншої сторони
(5.64)
Підставимо (5.63),(5.64) в Д.Р. (5.1)
отримане рівняння
(5.65)
не містить незалежної змінної .