Сфера S8319 (стр. 1 из 3)
СФЕРА
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ................................................................................ 2
МНОЖЕСТВО 
И РАССТОЯНИЕ В НЁМ..................... 3
ОТКРЫТЫЕ И ЗАМКНУТЫЕ МНОЖЕСТВА В ......... 4
СФЕРА .................................................................................. 5
НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА СФЕРЫ ............................... 5
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ............. 7
Многие величины, представляющие интерес, зависят не от одного, а от очень многих факторов, и если сама величина и каждый из определяющих его факторов могут быть охарактеризованы некоторым числом, то указанная зависимость сводится к тому, что упорядоченному набору
чисел, каждое из которых описывает состояние соответствующего фактора, становится в соответствие значение 
исследуемой величины, которое она приобретает при этом состоянии определяющих величину факторов.Например, площадь прямоугольника есть произведение длин его сторон; объём данного количества газа вычисляется по формуле
,где
– постоянная, 
– масса, 
– абсолютная температура и 
– давление газа. Таким образом, значение 
зависит от переменной упорядоченной тройки чисел 
или, как говорят есть функция трёх переменных 
.Мы ставим себе целью научиться исследовать функции многих переменных так же, как мы научились исследовать функции одного переменного.
Как и в случае функции одного переменного, изучение функции многих числовых переменных начинается с описания их области определения.
Условимся через
обозначать множество всех упорядоченных наборов , состоящих из 
действительных чисел 
.Каждый такой набор будем обозначать одной буквой
и в соответствии с удобной геометрической терминологии называть точкой множества .Число
в наборе 
называют 
-й координатой точки 
.Геометрические аналогии можно продолжить и ввести на множестве
расстояние между точками 
, 
по формуле 
(1)Функция
,определяемая формулой (1), очевидно, обладает следующими свойствами:
a)
;b)
;c)
;d)
.Последнее неравенство (называемое опять-таки по геометрической аналогии неравенством треугольника) есть частный случай неравенства Минковского.
Функцию, определённую на парах
точек некоторого множества 
и обладающую свойствами a), b), c), d), называют метрикой или расстоянием в .Множество
вместе с фиксированной в нём метрикой называют метрическим пространством.Таким образом, мы превратили
в метрическое пространство, наделив метрикой, заданной соотношением (1).Из соотношения (1) следует, что при
(2)т. е. расстояние между точками
мало в том и только в том случае, когда мало отличаются соответствующие координаты этих точек.Из (2), как и из (1), видно, что при
множество 
совпадает с множеством действительных чисел, расстояние между точками которого измеряется стандартным образом посредством модуля разности чисел.ОТКРЫТЫЕ И ЗАМКНУТЫЕ МНОЖЕСТВА В
Определение 1. При
множество 
называется шаром с центром
радиуса 
или также -окрестностью точки .Определение 2. Множество
называется открытым в , если для любой точки 
найдётся шар 
такой, что 
.Пример 1.
– открытое множество в .Пример 2.
– пустое множество – вообще не содержит точек и потому может считаться удовлетворяющим определению 2, т. е. – открытое множество в .Пример 3. Шар
– открытое множество в .Действительно, если
, т. е. 
, то при 
будет 
, поскольку 
.Пример 4. Множество
, т. е. совокупность точек, удалённых от фиксированной точки на расстояние больше чем 
является открытым, что, как и в примере 3, легко проверить, используя неравенство треугольника для метрики.