Модель управления конфликтными потоками в классе алгоритмов (стр. 4 из 5)

Теорема:Последовательности

,

и

при заданном распределении вектора

являются марковскими.

Доказательство: Докажем правильность утверждения для последовательности

. Сообразно определению, данная последовательность будет марковской, если выполнено равенство

Где

Применяя формулу полной вероятности и принятые в данной модели основные свойства ее случайных элементов, получим:

для правой части доказываемого равенства из тех же соображений получим

Т.е. доказываемое равенство имеет место. Стало быть, случайная последовательность

образует цепь Маркова с бесконечным счетным числом состояний.

Аналогично доказывается марковость последовательностей

и .

7. Рекуррентные формулы для одномерных распределений дискретной компоненты маркированного точечного процесса

.

Исследуем свойства одномерных распределений

Здесь начальное распределение

считается заданным. Получим рекурентные соотношения вида , где - бесконечномерная матрица переходных вероятностей за один шаг процесса . Подробно рассмотрим вероятностные свойства последовательностей и . Из (7) нетрудно получить следующие, реккурентные по соотношения для этих последовательностей:

Заметим что исследование последовательностей

и , проводятся аналогично.

Введём следующие обозначения:

На основании доказанного свойства марковости рассматриваемых последовательностей и формулы полной вероятности можно видеть что имеют место формулы:

(10)

где суммирование ведётся по

Теперь вычислим условные вероятности:

Окончательно формула (10) примет вид:

Здесь суммрование ведётся по всем точкам

Учитывая вид условных распределений для (8.1)-(9), нетрудно получить конкретный вид рекурентных формул для одномерных распределений дискретной компоненты . Подробно приведём только вывод формулы для вероятностей при .

Используя формулу (11), учитывая что при

на интервалах времени ни один из потоков не обслуживается, получим для .

где полагаем при .

Вероятности

, образуют матрицу

Далее через

мыбудем обозначать соответственно целые части величин , где -интенсивность обслуживания по потоку , если случайная среда находится в состоянии .

Поскольку при

обслуживаются только требования потока ,

рекуррентные соотношения для вероятностей

при получаются в виде:

(13)

(14)

Так как при

происходит обслуживание требований только по потоку , то при получим, что при всех и , а при имеем:

(15)

а при любых

:

(16)

Наконец для вероятностей

имеем при любом , , .

(17)

а при любых

, .

(18)

Заметим, что поскольку вероятности

для , , то из (12) непосредственно следует, что при всех для , , .