Лабораторная по ЭММ (стр. 2 из 3)
Z(Y) = 2400y1+1200y2+3000y3→ min;
(2х1* + х2* + 0,5х3* + 4х4* -2400) ∙ у1* = 0;
(х1* + 5х2* + 3х3* + 0х4* -1200) ∙ у2* = 0;
(3х1* + 0х2* + 6х3* + х4* -3000) ∙ у3* = 0.
(2у1* + у2* + 3у3* -7,5) ∙ х1* = 0;
(у1* + 5у2* + 0у3* -3) ∙ х2* = 0;
(0,5у1* + 3у2* + 6у3* -6) ∙ х3* = 0;
(4у1* + 0у2* + у3* -12) ∙ х4* = 0.
х1* = х2* = 0.
(0,5у1* + 3у2* + 6у3* -6) ∙ х3* = 0;
(4у1* + 0у2* + у3* -12) ∙ х4* = 0.
0,5у1* + 3у2* + 6у3* = 6;
4у1* + 0у2* + у3* = 12
y1*=3; y2*=1,5; y3*=0.
Минимальное значение целевой функции двойственной задачи совпадает с максимальным значением целевой функции исходной задачи.
3. Проанализируем использование ресурсов в оптимальном плане и поясним нулевые значения переменных. Для этого подставим в ограничения исходной задачи значения переменных оптимального планаХ*= (0; 0; 400; 550) и проверим выполнение неравенств:
Видно, что ресурсы I и II используются в оптимальном плане полностью, т.е. являются дефицитными. На это указывает и то, что теневые цены этих ресурсов больше нуля (y1*>0; y2*>0). Самым дефицитным является ресурс I, так как он имеет наибольшую теневую цену (y1*=3); наименее дефицитен ресурс II (y2*=1,5).
Ограниченные запасы дефицитных ресурсов I и II сдерживают увеличение объемов выпускаемой продукции и рост максимальной выручки от ее реализации. Увеличение объема ресурса I на одну единицу при неизменных объемах других ресурсов ведет к росту максимальной выручки на 3 руб., увеличение объема ресурса II на единицу — на 1,5 руб. Ресурс IIIиспользуется не полностью 2950<3000, поэтому имеет нулевую двойственную оценку (y3*=0), т.е. является избыточным в оптимальном плане. Увеличение объема этого ресурса не влияет на оптимальный план выпуска продукции и ее общую стоимость. Поясним равенство нулю x1*=0 и x2*=0. Если изделие вошло в оптимальный план (х>0), то в двойственных оценках оно не убыточно, т.е. стоимость ресурсов, затраченных на производство единицы продукции, равна его цене. В нашей задаче это изделия В и Г. Если стоимость ресурсов, затраченных на производство одного изделия, больше его цены, то это изделие не войдёт в оптимальный план (затраты по изделию А равны его цене 7,5-7,5=0 и затраты по изделию Б превышают его стоимость 3-10,5=-7,5).
4. Определим, насколько изменится общая стоимость выпускаемой продукции при заданных изменениях запасов сырья. Из «Отчета по устойчивости» видно, что указанное изменение объемов ресурсов происходит в пределах устойчивости (см. «Допустимое увеличение» и «Допустимое уменьшение» правых частей ограничений). Это дает возможность непосредственно рассчитать изменение наибольшей выручки от реализации выпускаемой продукции:
При этом новая наибольшая выручка составит
руб.5. Для определения целесообразности включения в план изделия Д ценой 10 ед., если нормы затрат сырья 2; 4 и 3 единицы, рассчитаем стоимость ресурсов на изготовление единицы этого изделия в теневых ценах и сравним это значение с ценой реализации изделия:
Следовательно, продукцию Д выпускать невыгодно, так как она поглощает часть дефицитных ресурсов, и тем самым сдерживает рост выпуска выгодной продукции, что препятствует увеличению общей стоимости выпускаемых изделий. Если бы изделие Д реализовывалось по цене равной или большей 12 руб., то его производство было бы выгодным.
ЗАДАЧА 3
В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t)(млн.руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя приведён ниже в таблице.
Таблица 4
| t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| yt | 45 | 43 | 40 | 36 | 38 | 34 | 31 | 28 | 25 |
Требуется:
1. Проверить наличие аномальных наблюдений.
2. Построить линейную модель Ŷ(t)=a0+a1t, параметры которой оценить МНК (Ŷ(t) – расчетные, смоделированные значения временного ряда).
3. Построить адаптивную модель Брауна Ŷ(t)=a0+a1k с параметром сглаживания α=0,4 и α=0,7; выбрать лучшее значение параметра сглаживания.
4. Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7-3,7).
5. Оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.
6. По двум построенным моделям осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности р=70%).
7. Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.
Решение
1. Проверим наличие аномальных наблюдений методом Ирвина:
,где
, 
Все
, следовательно среди наблюдений 
нет аномальных.2. Оценка параметров модели с помощью Excel.
Построим линейную однопараметрическую модель регрессии
.Таблица 5
| t | Y |
| 1 | 45 |
| 2 | 43 |
| 3 | 40 |
| 4 | 36 |
| 5 | 38 |
| 6 | 34 |
| 7 | 31 |
| 8 | 28 |
| 9 | 25 |
Оформим необходимые данные в Таблицы 6 и 7.
Таблица 6
| Коэффициенты | Стандартная ошибка | t-статистика | |
Y-пересечение  | 47,64 | 0,94 | 50,49 |
t  | -2,42 | 0,17 | -14,41 |
Таблица 7
| ВЫВОД ОСТАТКА | ||
| Наблюдение | Предсказанное Y | Остатки |
| 1 | 45,22 | -0,22 |
| 2 | 42,81 | 0,19 |
| 3 | 40,39 | -0,39 |
| 4 | 37,97 | -1,97 |
| 5 | 35,56 | 2,44 |
| 6 | 33,14 | 0,86 |
| 7 | 30,72 | 0,28 |
| 8 | 28,31 | -0,31 |
| 9 | 25,89 | -0,89 |
| сумма | 0,00 | |
Уравнение регрессии зависимости
(спрос на кредитные ресурсы) от 
(времени) имеет вид: 
Коэффициент детерминации равен R2=0,967. Само значениеR2 показывает, что изменение во времени спроса на кредитные ресурсы на 96,7 % описывается линейной моделью.
Угловой коэффициент а1 = -2,42 уравнения показывает, что за одну неделю спрос на кредитные ресурсы банка уменьшается в среднем на 2,42 млн. руб.
При вычислении «вручную» по формуле
получаем те же результаты.
Рис. 2.
| Оценка параметров модели Брауна, при α=0,4 | |||||
| t | Y(t) | a0 | a1 | Yp(t) | E(t) |
| 0 | 47,64 | -2,42 | |||
| 1 | 45 | 45,07 | -2,45 | 45,22 | -0,22 |
| 2 | 43 | 42,9 | -2,42 | 42,81 | 0,19 |
| 3 | 40 | 40,6 | -2,36 | 40,39 | 0,39 |
| 4 | 36 | 39,23 | -2,04 | 37,97 | 1,97 |
| 5 | 38 | 34,12 | -1,65 | 35,56 | 2,44 |
| 6 | 34 | 33,7 | -1,51 | 33,14 | 0,86 |
| 7 | 31 | 30,9 | -1,46 | 30,72 | 0,28 |
| 8 | 28 | 28,5 | -1,41 | 28,31 | 0,31 |
| 9 | 25 | 26,5 | -1,27 | 25,89 | 0,89 |
| Оценка параметров модели Брауна, при α=0,7 | |||||
| t | Y(t) | a0 | a1 | Yp(t) | E(t) |
| 0 | 47,64 | -2,42 | |||
| 1 | 45 | 45,1 | -2,44 | 45,22 | -0,22 |
| 2 | 43 | 42,7 | -2,43 | 42,81 | 0,19 |
| 3 | 40 | 40,6 | -2,39 | 40,39 | 0,39 |
| 4 | 36 | 38,97 | -2,21 | 37,97 | 1,97 |
| 5 | 38 | 36,9 | -1,99 | 35,56 | 2,44 |
| 6 | 34 | 33,58 | -1,91 | 33,14 | 0,86 |
| 7 | 31 | 30,9 | -1,88 | 30,72 | 0,28 |
| 8 | 28 | 28,5 | -1,85 | 28,31 | 0,31 |
| 9 | 25 | 26,34 | -1,77 | 25,89 | 0,89 |
4. Оценим адекватность построенной модели. Рассчитанные по модели