Лекции по Математике 3 (стр. 2 из 7)

неявно задающее решение уравнения (3), называется общим интегралом.

Определение 11. Уравнение

(6),

где

- конкретное значение параметра

, называется частным интегралом.

Определение 12. Решение

уравнения (3) называется особым, если в каждой его точке

нарушается единственность, то есть через каждую его точку

кроме данного решения проходит и другое решение уравнения (3), не совпадающее с

в сколь угодно малой окрестности точки

1.3 Уравнения первого порядка.

Дифференциальное уравнение называется интегрируемым в квадратурах, если его общее реше-

ние(общий интеграл) может быть получено(получен) в результате конечной последовательнос-

ти элементарных действий над известными функциями и интегрирования этих функций.

Таких уравнений сравнительно немного, рассмотрим некоторые виды дифференциальных урав-

нений, интегрируемых в квадратурах.

I. Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными; уравнения, приводящиеся

к уравнениям с разделяющимися переменными.

Уравнение вида

(7)

называется дифференциальным уравнением с разделенными переменными.

- известные непрерывные функции.

(8)

Это общий интеграл данного дифференциального уравнения (7).

Уравнение вида

(9)

в котором коэффициенты при дифференциалах являются произведениями функций, завися-

щих только от какой-то одной переменной, называется уравнением с разделяющимися пере-

менными.

Разделим левую и правую части уравнения (9) на произведение

, получим урав-

нение с разделенными переменными:

, тогда общий интеграл уравнения (9) имеет в

(10)

Деление на

может привести к потере решений, которые обращают в ноль данное

произведение, поэтому надо делать проверку.

Пример 5. Найти общее решение уравнения

Решение.

, делим левую и правую части на

, получаем

или

, тогда

, пропотенцируем данное равенство, получим

- это общий интеграл исходного уравнения.

Уравнение вида

(11),

где

- известная непрерывная функция;

- константы, называется приводящимся к

уравнению с разделяющимися переменными.

Чтобы привести данное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными, надо сделать

следующую замену:

(12),

тогда

, а

, подставляем в уравнение (11), получаем

или

, данное уравнение является уравнением с разделяющимися

переменными, разделим переменные:

или

, тогда его общий интеграл имеет вид:

или

Затем заменяем

на

и получаем общий интеграл для уравнения (11).

Пример 6. Найти общее решение уравнения

Решение. Сделаем замену

, тогда

или

, подставляем в исходное

уравнение, получаем

или

, разделяем переменные:

, тогда

, следовательно,

, возвращаемся к переменной

или

- это общее решение исходного уравнения.

Лекция 2.

II. Однородные дифференциальные уравнения и приводящиеся к ним.

Определение 13. Функция

называется однородной функцией

-ой степени однород-

ности, если при любых допустимых значениях

справедливо равенство

(13)

Пример 7. Рассмотрим функцию

. Данная функция является однородной

степени однородности 2, так как

Пример 8. Функция

однородная степени однородности 0, так как

Определение 14. Уравнение

(14)

называется однородным, если функции

являются однородными одинаковой

степени однородности.

Однородное уравнение еще может записываться следующим образом

(15)

Решаются однородные дифференциальные уравнения с помощью замены:

, тогда

(для уравнения (14)),

( для уравнения

(15)). После замены уравнение станет уравнением с разделяющимися переменными

Пример 9. Найти общий интеграл уравнения

Решение. Уравнение можно записать следующим образом

. Сделаем соответствую-щую замену и подставим в уравнение, получим:

или

, разделяем переменные, тогда

; интегрируем

, получаем

или