Системы линейных и дифференциальных уравнений (стр. 4 из 4)

Тогда:

В итоге

и подставляя получаем - общее решение уравнения.

Найдём решение задачи Коши для

:

Искомое решение

.

в)

- неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Его решение представляет собой сумму

, где - общее решение однородного уравнения, - частное решение неоднородного уравнения, зависящее от и вида правой части неоднородного уравнения.

Решением уравнения вида

будет , где - корни характеристического уравнения .

Запишем характеристическое уравнение для

:

и найдем его корни:

Тогда решение уравнения имеет вид:

, где С₁ и С₂ – произвольные константы.

будем искать в виде

Тогда:

и подставляя в уравнение получаем:

откуда, приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях х, получаем:

,

т.е.

Общее решение неоднородного уравнения есть

Ответ: а)

;

б)

;

с)

.

8.

а) Исследовать сходимость ряда.

б) Определить область сходимости ряда.

а)

б) .

Решение:

а)

- рассмотрим ряд из абсолютных величин .

Поскольку

, то .

Ряд

сходится как обобщенный гармонический ряд степени р = 2 >1, следовательно и меньший ряд также сходится.

Исходный ряд

сходится абсолютно.

б) Для степенного ряда вида

интервалом сходимости будет интервал (x₀ – R; x₀ + R), где - радиус сходимости степенного ряда.

Для нашего ряда

получим: x₀ = 2 и общий член .

Тогда:

Получили интервал сходимости (2 – 2; 2 + 2) или (0; 4).

Рассмотрим концы интервала.

х = 4:

- расходящийся гармонический ряд.

х = 0:

- условно сходящийся ряд Лейбница.

Ответ: а) сходится абсолютно; б) [0; 4).