Системы линейных и дифференциальных уравнений (стр. 3 из 4)
Ответ: а) 3; б) -2,5.
2. Найти производные функций, заданных в явном и неявном виде.
а)
б) 
Решение:
а) Перепишем функцию
в виде экспоненты: 
б)
- продифференцируем обе части равенства по х. 
Ответ: решение выше.
3. Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и построить ее график.
Решение:
1) Область определения функции:
.2) Четность, периодичность:
, т.е. функция нечетная (симметричная относительно начала координат), не периодическая.3) Пересечение с осями:
с осью ОY: х = 0 – не принадлежит области определения.
с осью OX: y = 0
- решения нет, точек пересечения с осью ОХ нет.4) Асимптоты и поведение на бесконечности:
Наклонные асимптоты: y = kx + b, где
b = 
т.е. существует наклонная асимптота y = 3х.
5) Поведение возле точки разрыва:
Наша точка разрыва x = 0.
6) Критические точки:
Найдем производную функции y и решим уравнение yґ = 0.
т.е. точка: (-1; -4) – точка максимума и (1; 4) - точка минимума.
7) Точки перегиба:
Найдем вторую производную функции y и решим уравнение yґґ = 0.
, значит 
- нет решений.При x > 0 функция выпуклая, при x < 0 вогнутая.
8) Построим график функции:
4. Найти
 |  |
градиент функции Z в точке М.
уравнение матрица функция вектор дифференциальный
Решение:
Градиентом функции z в точке М является вектор grad (z) =
Т.е. grad(z) =
.Ответ:grad (z) =
.5. Вычислить неопределенные интегралы.
а)
б) 
с) 
.Решение:
а)
Рассмотрим интеграл
: 
Тогда
б) Воспользуемся формулой интегрирования по частям:
с) Разложим подинтегральное выражение на простые дроби:
, т.е. 
Тогда:
Ответ: решения выше.
6. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций вокруг оси OY
Решение:
Построим в координатной плоскости заданную фигуру.
Объем тела, полученного вращением плоской фигуры около оси ОХ найдем по формуле:
В нашем случае получаем:
куб.ед.Ответ:
куб.ед.7.
А) Найти общее решение дифференциального уравнения.
Б) Найти решение задачи Коши
В) Найти общее решение дифференциального уравнения.
а)
; б) 
; 
; в) 
.Решение:
а)
- уравнение с разделяющимися переменными. 
Возьмем интегралы:
Таким образом
- общее решение уравнения, где С – произвольная константа.б)
- уравнение Бернулли.Решим его, выполнив замену
. Тогда 
и исходное уравнение примет вид: 
- линейное неоднородное уравнение первого порядка. Будем искать его решение в виде 
, тогда 
и
Функцию u будем искать такую, что
, т.е. 